Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнение бернулли.
Дифференциальное уравнение Бернулли
- это уравнение вида:
,
где n ≠ 0
,
n ≠ 1
,
p
и q
- функции от x
.
Решение дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению
Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли:
(1)
,
где n ≠ 0
,
n ≠ 1
,
p
и q
- функции от x
.
Разделим его на y n
.
При y ≠ 0
или n < 0
имеем:
(2)
.
Это уравнение сводится к линейному с помощью замены переменной:
.
Покажем это. По правилу дифференцирования сложной функции:
;
.
Подставим в (2)
и преобразуем:
;
.
Это - линейное , относительно z
,
дифференциальное уравнение. После его решения, при n > 0
,
следует рассмотреть случай y = 0
.
При n > 0
,
y = 0
также является решением уравнения (1)
и должно входить в ответ.
Решение методом Бернулли
Рассматриваемое уравнение (1)
также можно решить методом Бернулли . Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u·v
,
где u
и v
- функции от x
.
Дифференцируем по x
:
y′ = u′ v + u v′
.
Подставляем в исходное уравнение (1)
:
;
(3)
.
В качестве v
возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4)
.
Уравнение (4)
- это уравнение с разделяющимися переменными . Решаем его и находим частное решение v = v(x)
.
Подставляем частное решение в (3)
. Поскольку оно удовлетворяет уравнению (4)
, то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем:
;
.
Здесь v
- уже известная функция от x
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv
.
Пример решения дифференциального уравнения Бернулли
Решить уравнение
Решение
На первый взгляд, кажется, что это дифференциальное уравнение не похоже на уравнение Бернулли. Если считать x независимой переменной, а y - зависимой (то есть если y - это функция от x ), то это так. Но если считать y независимой переменной, а x - зависимой, то легко увидеть, что это - уравнение Бернулли.
Итак, считаем что x
является функцией от y
.
Подставим и умножим на :
;
;
(П.1)
.
Это - уравнение Бернулли с n = 2
.
Оно отличается от рассмотренного выше, уравнения (1)
, только обозначением переменных (x
вместо y
). Решаем методом Бернулли. Делаем подстановку:
x = u v
,
где u
и v
- функции от y
.
Дифференцируем по y
:
.
Подставим в (П.1)
:
;
(П.2)
.
Ищем любую, отличную от нуля функцию v(y)
,
удовлетворяющую уравнению:
(П.3)
.
Разделяем переменные :
;
;
.
Положим C = 0
,
поскольку нам нужно любое решение уравнения (П.3)
.
;
.
Подставим в (П.2)
учитывая, что выражение в скобках равно нулю (ввиду (П.3)
):
;
;
.
Разделяем переменные. При u ≠ 0
имеем:
;
(П.4)
;
.
Во втором интеграле делаем подстановку :
;
.
Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка . Оно записывается в виде
где a (x ) и b (x ) − непрерывные функции. Если m = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когдаm = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. В общем случае, когда m ≠ 0, 1, уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки
Новое дифференциальное уравнение для функции z (x ) имеет вид
и может быть решено способами, описанными на странице Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
МЕТОД БЕРНУЛИ.
Рассматриваемое уравнение можно решить методом Бернулли. Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций: где u, v - функции от x . Дифференцируем: Подставляем в исходное уравнение (1): (2) В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения: (3) Уравнение (3) - это уравнение с разделяющимися переменными. После того, как мы нашли его частное решение v = v(x) , подставляем его в (2). Поскольку оно удовлетворяет уравнению (3), то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем: Это также уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv .
64. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Методы решения
Дифференциальное уравнение первого порядка вида
называется уравнением в полных дифференциалах , если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции , т.е.
Теорема. Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой односвязной области изменения переменныхивыполнялось условие
Общий интеграл уравнения (1) имеет вид или
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах:
так что т.е. условие (2) выполнено. Таким образом, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и
поэтому , гдепока неопределенная функция.
Интегрируя, получаем . Частная производнаянайденной функциидолжна равняться, что даетоткудатак чтоТаким образом,.
Общий интеграл исходного дифференциального уравнения .
При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получаются легко интегрируемые комбинации.
65. Обыкновенные дифференциальные линейные уравнения высших порядков: однородные и неодно-родные. Линейный дифференциальный оператор, его свойства (с доказательством).
Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Множество функций, имеющих на интервале (a , b ) не менее n производных, образует линейное пространство. Рассмотрим оператор L n (y ), который отображает функцию y (x ), имеющую производных, в функцию, имеющуюk - n производных.
Уравнение вида y’ + Р(х)у = Q(x), где Р(х) и Q(x) – известные функции от х, линейные относительно функции у и её производной y’, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Если q(x)=0, уравнение называется линейным однородным уравнением. q(x)=0 – линейное неоднородное уравнение.
Линейное уравнение приводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными при помощи подстановки у = u*v, где u = u(х) и v = v(x) – некоторые вспомогательные непрерывные функции.
Итак, у = u*v, у’ = u’*v + u * v’ (1),
тогда исходное уравнение перепишем в виде: u’*v + u * v’ + Р(х)*v = Q(x) (2).
Так как неизвестная функция у ищется в виде произведения двух функций, то одна из них может быть выбрана произвольно, другая – определяться уравнением (2).
Выберем так, чтобы v’ + Р(х)*v = 0 (3). Для этого достаточно, чтобы v(x) была частным решением уравнения (3) (при С = 0). Найдём это решение:
V*P(x) ; = -;ln |v| = -;v = (4)
Подставляя функцию (4) в уравнение (2), получим второе уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим функцию u(x):
u’ * = Q(x) ; du = Q(x) *; u =+ C (5)
Окончательно получаем:
y(x) = u(x)*v(x) = *(+C)
Уравнение Бернулли: y ’ + y = x * y 3
Данное уравнение имеет вид: y’ + Р(х)*у = y’’ * Q(x), где Р(х) и Q(x) – непрерывные функции.
Если n = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифф.уравнением. Если n = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.
В общем случае, когда n ≠ 0, 1, ур. Бернулли сводится к линейному дифф.уравнению с помощью подстановки: z = y 1- n
Новое дифф.уравнение для ф-ции z(x) имеет вид: z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) и может быть решено теми же способами, что и линейные дифф.уравнения 1-ого порядка.
20. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Рассмотрим уравнение, не содержащие функцию в явном виде:
Порядок этого уравнения понижается на единицу с помощью подстановки:
Действительно, тогда:
И мы получили уравнение, в котором порядок понижен на единицу:
Дифф. уравнения порядка выше второго имеют вид и , где - действительные числа, а функция f(x) непрерывна на интервале интегрирования X .
Аналитически решить такие уравнения далеко не всегда возможно и обычно используют приближенные методы. Однако в некоторых случаях возможно отыскать общее решение.
Теорема.
Общим решением y 0 линейного однородного дифференциального уравнения на интервале X с непрерывными коэффициентами на X является линейная комбинация n линейно независимых частных решений ЛОДУ с произвольными постоянными коэффициентами , то есть .
Теорема.
Общее решение y линейного неоднородного дифференциального
уравнения на интервале X с непрерывными на том же
промежутке X коэффициентами и функцией f(x) представляет собой сумму ,
где y 0 - общее решение соответствующего ЛОДУ , а - какое-нибудь частное решение исходного ЛНДУ.
Таким образом, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами ищем в виде , где - какое-нибудь
его частное решение, а – общее решение соответствующего однородного дифференциального
уравнения .
21. Испытания и события. Виды событий. Примеры.
Испытание – создание определённого комплекса условий для совершения событий. Пример: бросание игральной кости
Событие – появление\непоявление того или иного исхода испытания; результат испытания. Пример: выпадение числа 2
Случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти при данном испытании. Пример: выпадение числа, большего чем 5
Достоверное – событие, которое неизбежно происходит при данном испытании. Пример: выпадение числа, большего или равного 1
Возможное – событие, которое может произойти при данном испытании. Пример: выпадение числа 6
Невозможное – событие, которое не может произойти при данном испытании. Пример: выпадение числа 7
Пусть А – некоторое событие. Под событием, противоположным ему, будем понимать событие, состоящее в ненаступлении события А. Обозначение: Ᾱ. Пример: А – выпадение числа 2, Ᾱ - выпадение любого другого числа
События А и В несовместны, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же испытании. Пример: выпадение при одном броске чисел 1 и 3.
События А и В называются совместными, если они могут появиться в одном испытании. Пример: выпадение при одном броске числа, большего, чем 2, и числа 4.
22. Полная группа событий. Примеры.
Полная группа событий – события A, B, C, D, …, L, которые принято считать единственно возможными, если в результате каждого испытания хотя бы одно из них обязательно наступит. Пример: выпадение на игральной кости числа 1, числа 2, 3, 4, 5, 6.
23. Частота события. Статистическое определение вероятности.
Пусть проведено n испытаний, причём событие А наступило m раз. Такое отношение m:n является частотой наступления события А.
Опр. Вероятность случайного события – связанное с данным событием постоянное число, вокруг которого колеблется частота наступления этого события в длинных сериях испытаний.
Вероятность вычисляется до опыта, а частота – после него.
24. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события.
Вероятностью события х называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных попарно несовместных и единственно возможных исходов опыта. Р(А) =
Свойства вероятности события:
Для любого события А 0<=m<=n
Поделив каждый член на n, получим для вероятности любого события А: 0<=Р(А) <=1
Если m=0, то событие невозможно: Р(А)=0
Если m=n, то событие достоверно: Р(А)=1
Если
m 25.
Геометрическое определение вероятности.
Примеры.
Классическое
определение вероятности требует
рассмотрение конечного числа элементарных
исходов, причем равновозможных. Но на
практике часто встречаются испытания,
число возможных исходов которых
бесконечно. Опр
.
Если точка случайным образом появляется
одномерной\ двумерно\ или 3х мерной
области меры S
(мера – ее длина, площадь или объём) то
вероятность ее появления в части этой
области меры S
равна где
S
– геометрическая мера, выражающая общее
число всех
возможных и равновозможных
исходов данного испытания, а Si
– мера, выражающая количество
благоприятствующих событию A
исходов. Пример
1.
Круг радиусом R помещен меньший круг
радиусом г. Найти вероятность того, что
точка, наудачу брошенная в больший круг,
попадет также и в малый круг. Пример
2.
Пусть
отрезок длиной l включается в отрезок
длиной L. Най ти вероятность события А
«наудачу брошенная точка попала на
отрезок длиной l». Пример
3
. В круге произвольно выбирается точка.
Какова вероятность того, что ее расстояние
до центра круга больше половины? Пример
4.
Два лица и условились встретиться в
определённом месте между двумя и тремя
часами дня. Пришедший первым ждет другого
в течение 10 минут, после чего уходит.
Чему равна вероятность встречи этих
лиц, если каждый из них может прийти в
любое время в течение указанного часа
независимо от другого? 26.
Элементы комбинаторики: Размещение,
перестановка, сочетания.
1)
Перестановкой
называется
установленный в конечном множестве
порядок. Число
всех различных перестановок вычисляется
по формуле 2)
Размещением
из
n
элементов по m
называется
всякое упорядоченное
подмножество основного множества,
содержащее m
элементов. 3)
Сочетанием
из
n
элементов
по m
называется
всякое неупорядоченное
подмножество основного множества,
содержащее элементов. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),
где p(x)
и q(x)
- заданные функции от x
, непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1). Если q(x)\equiv0
, то уравнение (1) называется линейным однородным
. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение y=C\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right)\!,
Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной
, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде y=C(x)\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right)
, где C(x)
- новая неизвестная функция от x
. Пример 1.
Решить уравнение y"+2xy=2xe^{-x^2}
. Решение.
Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим однородное уравнение y"+2xy=0
, соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид y=Ce^{-x^2}
. Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде y=C(x)e^{-x^2}
, где C(x)
- неизвестная функция от x
. Подставляя, получаем C"(x)=2x
, откуда C(x)=x^2+C
. Итак, общее решение неоднородного уравнения будет y=(x^2+C)e^{-x^2}
, где C
- постоянная интегрирования. Замечание.
Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно x
как функция от y
. Нормальный вид такого уравнения \frac{dx}{dy}+r(y)x=\varphi(y).
Пример 2.
Решить уравнение \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\cos{y}+\sin2y}
. Решение.
Данное уравнение является линейным, если рассматривать x
как функцию от y
: \frac{dx}{dy}-x\cos{y}=\sin{2y}.
Применяем метод вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение \frac{dx}{dy}-x\cos{y}=0,
которое является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид x=Ce^{\sin{y}},~C=\text{const}
. Общее решение уравнения ищем в виде , где C(y)
- неизвестная функция от y
. Подставляя, получаем C"(y)e^{\sin{y}}=\sin2y
или C"(y)=e^{-\sin{y}}\sin2y.
Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь \begin{aligned}C(y)&=\int{e^{-\sin{y}}\sin2y}\,dy=2\int{e^{-\sin{y}}\cos{y}\sin{y}}\,dy=2\int\sin{y}\,d(-e^{-\sin{y}})=\\ &=-2\sin{y}\,e^{-\sin{y}}+2\int{e^{-\sin{y}}\cos{y}}\,dy=C-2(\sin{y}+1)e^{-\sin{y}},\end{aligned}
C(y)=-2e^{-\sin{y}}(1+\sin{y})+C.
x=Ce^{\sin{y}}-2(1+\sin{y})
Исходное уравнение может быть проинтегрировано также следующим образом. Полагаем y=u(x)v(x),
где u(x)
и v(x)
- неизвестные функции от x
, одна из которых, например v(x)
, может быть выбрана произвольно. Подставляя y=u(x)v(x)
в , после преобразования получаем vu"+(pv+v")u=q(x).
Определяя v(x)
из условия v"+pv=0
, найдем затем из vu"+(pv+v")u=q(x)
функцию u(x)
, а следовательно, и решение y=uv
уравнения \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)
. В качестве v(x)
можно взять любое частое решение уравнения v"+pv=0,~v\not\equiv0
. Пример 3.
Решить задачу Коши: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_{x=2}=4
. Решение.
Ищем общее решение уравнения в виде y=u(x)v(x)
; имеем y"=u"v+uv"
. Подставляя выражение для y
и y"
в исходное уравнение, будем иметь x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)
или x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)
Функцию v=v(x)
находим из условия x(x-1)v"+v=0
. Беря любое частное решение последнего уравнения, например v=\frac{x}{x-1}
, и подставляя его, получаем уравнение u"=2x-1
, из которого находим функцию u(x)=x^2-x+C
. Следовательно, общее решение уравнения x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)
будет y=uv=(x^2-x+C)\frac{x}{x-1},
или y=\frac{Cx}{x-1}+x^2.
Используя начальное условие y|_{x=2}=4
, получаем для нахождения C
уравнение 4=\frac{2C}{2-1}+2^2
, откуда C=0
; так что решением поставленной задачи Коши будет функция y=x^2
. Пример 4.
Известно, что между силой тока i
и электродвижущей силой E
в цепи, имеющей сопротивление R
и самоиндукцию L
, существует зависимость E=Ri+L\frac{di}{dt}
, где R
и L
- постоянные. Если считать E
функцией времени t
, то получим линейное неоднородное уравнение для силы тока i
: \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{E(t)}{L}.
Найти силу тока i(t)
для случая, когда E=E_0=\text{const}
и i(0)=I_0
. Решение.
Имеем \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{E_0}{L},~i(0)=I_0
. Общее решение этого уравнения имеем вид i(t)=\frac{E_0}{R}+Ce^{-(R/L)t}
. Используя начальное условие (13), получаем из C=I_0-\frac{E_0}{R}
, так что искомое решение будет i(t)=\frac{E_0}{R}+\left(I_0-\frac{E_0}{R}\right)\!e^{-(R/L)t}.
Отсюда видно, что при t\to+\infty
сила тока i(t)
стремится к постоянному значению \frac{E_0}{R}
. Пример 5.
Дано семейство C_\alpha
интегральных кривых линейного неоднородного уравнения y"+p(x)y=q(x)
. Показать, что касательные в соответственных точках к кривым C_\alpha
, определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точке (рис. 13). Решение.
Рассмотрим касательную к какой-либо кривой C_\alpha
в точке M(x,y)
.Уравнение касательной в точке M(x,y)
имеет вид \eta-q(x)(\xi-x)=y
, где \xi,\eta
- текущие координаты точки касательной. По определению, в соответственных точках x
является постоянным, а y
переменным. Беря любые две касательные к линиям C_\alpha
в соответственных точках, для координат точки S
их пересечения, получаем \xi=x+\frac{1}{p(x)}, \quad \eta=x+\frac{q(x)}{p(x)}.
Отсюда видно, что все касательные к кривым C_\alpha
в соответственных точках (x
фиксировано) пересекаются в одной и той же точке S\!\left(x+\frac{1}{p(x)};\,x+\frac{q(x)}{p(x)}\right).
Исключая в системе аргумент x
, получаем уравнение геометрического места точек S \colon f(\xi,\eta)=0
. Пример 6.
Найти решение уравнения y"-y=\cos{x}-\sin{x}
, удовлетворяющее условию: y
ограничено при y\to+\infty
. Решение.
Общее решение данного уравнения y=Ce^x+\sin{x}
. Любое решение уравнения, получаемое из общего решения при C\ne0
, будет неограниченно, так как при x\to+\infty
функция \sin{x}
ограничена, а e^x\to+\infty
. Отсюда следует, что данное уравнение имеет единственное решение y=\sin{x}
, ограниченное при x\to+\infty
, которое получается из общего решения при C=0
. Дифференциальное уравнение Бернулли
имеет вид \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n
, где n\ne0;1
(при n=0
и n=1
это уравнение является линейным). С помощью замены переменной z=\frac{1}{y^{n-1}}
уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное. Пример 7.
Решить уравнение Бернулли y"-xy=-xy^3
. Решение.
Делим обе части уравнения на y^3
: \frac{y"}{y^3}-\frac{x}{y^2}=-x
Делаем замену переменной \frac{1}{y^2}=z\Rightarrow-\frac{2y"}{y^3}=z"
, откуда \frac{y"}{y^3}=-\frac{z"}{2}
. После подстановки последнее уравнение обратится в линейное уравнение -\frac{z"}{2}-xz=-x
или z"+2xz=2x
, общее решение которого z=1+Ce^{-x^2}.
\frac{1}{y^2}=1+Ce^{-x^2}
или y^2(1+Ce^{-x^2})=1.
Замечание.
Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки y(x)=u(x)v(x)
. Пример 8.
Решить уравнение Бернулли xy"+y=y^2\ln{x}.
. Решение.
Применим метод вариации произвольной постоянной. Общее решение соответствующего однородного уравнения xy"+y=0
имеет вид y=\frac{C}{x}
. Общее решение уравнения ищем в виде y=\frac{C(x)}{x}
, где C(x)
- новая неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение, будем иметь C"(x)=C^2(x)\frac{\ln{x}}{x^2}.
Для нахождения функции C(x)
получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого, разделяя переменные и интегрируя, найдем \frac{1}{C(x)}=\frac{\ln{x}}{x}+\frac{1}{x}+C~\Rightarrow~C(x)=\frac{x}{1+Cx+\ln{x}}.
Итак, общее решение исходного уравнения y=\frac{1}{1+Cx+\ln{x}}
. Некоторые нелинейные уравнения первого порядка с помощью удачно найденной замены переменных сводятся к линейным уравнениям или к уравнениям Бернулли. Пример 9.
Решить уравнение y"+\sin{y}+x\cos{y}+x=0
. Решение.
Запишем данное уравнение в виде y"+2\sin\frac{y}{2}\cos\frac{y}{2}+2x\cos^2\frac{y}{2}=0.
. Деля обе части уравнения на 2\cos^2\frac{y}{2}
, получаем \frac{y"}{2\cos^2\dfrac{y}{2}}+\operatorname{tg}\frac{y}{2}+x=0
. Замена \operatorname{tg}\frac{y}{2}=z\Rightarrow\frac{dz}{dx}=\frac{y"}{\cos^2\dfrac{y}{2}}
приводит это уравнение к линейному \frac{dz}{dx}+z=-x
, общее решение которого z=1-x+Ce^{-x}
. Заменяя z
его выражением через y
, получаем общий интеграл данного уравнения \operatorname{tg}\frac{y}{2}=1-x+Ce^{-x}
. В некоторых уравнениях искомая функция y(x)
может находиться под знаком интеграла. В этих случаях иногда удается путем дифференцирования свести данное уравнение к дифференциальному. Пример 10.
Решить уравнение x\int\limits_{x}^{0}y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_{0}^{x}ty(t)\,dt,~x>0
. Решение.
Дифференцируя обе части этого уравнения по x
, получаем \int\limits_{0}^{x}y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_{0}^{x}ty(t)\,dt+x(x+1)y(x)
или \int\limits_{0}^{x}y(t)\,dx=\int\limits_{0}^{x}ty(t)\,dt+x^2y(x).
Дифференцируя еще раз по x
, будем иметь линейное однородное уравнение относительно y(x)\colon
y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x)
или x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.
Разделяя переменные и интегрируя, найдем y=\frac{C}{x^3}e^{-1/x}
. Это решение, как легко проверить, удовлетворяет исходному уравнению. Дифференциальное уравнение Бернулли — это уравнение вида где n≠0,n≠1. Это уравнение может быть преобразовано при помощи подстановки в линейное уравнение На практике дифференциальное уравнение Бернулли обычно не приводят к линейному, а сразу решают теми же методами, что и линейное уравнение — либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной. Рассмотрим, как решить дифференциальное уравнение Бернулли с помощью замены y=uv (метод Бернулли). Схема решения — как и при . Примеры. Решить уравнения: 1) y’x+y=-xy².
Это дифференциальное уравнение Бернулли. Приведем его к стандартному виду. Для этого поделим обе части на x: y’+y/x=-y². Здесь p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Но для решения нам не нужен стандартный вид. Будем работать с той формой записи, которая дана в условии. 1) Замена y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Тогда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения в условие: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v². 2) Раскроем скобки: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые с v: v+v’ux=-xu²v² (I) (слагаемое со степенью v, стоящее в правой части уравнения, не трогаем). Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’x+u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными u и x. Решив его, мы найдем u. Подставляем u=du/dx и разделяем переменные: x·du/dx=-u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xu≠0: (при нахождении u С берем равным нулю). 3) В уравнение (I) подставляем =0 и найденную функцию u=1/x. Имеем уравнение: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². После упрощения: v’=-(1/x)·v². Это уравнение с разделяющимися переменными v и x. Заменяем v’=dv/dx и разделяем переменные: dv/dx=-(1/x)·v². Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v²≠0: (взяли -С, чтобы, умножив обе части на -1, избавиться от минуса). Итак, умножаем на (-1): (можно было бы взять не С, а ln│C│ и в этом случае было бы v=1/ln│Cx│). 2) 2y’+2y=xy².
Убедимся в том, что это — уравнение Бернулли. Поделив на 2 обе части, получаем y’+y=(x/2) y². Здесь p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Решаем уравнение методом Бернулли. 1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем эти выражения в первоначальное условие: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v². 2) Раскрываем скобки: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие v: +2v’u=xu²v² (II). Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: 2u’+2u=0, отсюда u’+u=0. Это — уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его и найдем u. Подставляем u’=du/dx, откуда du/dx=-u. Умножив обе части уравнения на dx и поделив на u≠0, получаем: du/u=-dx. Интегрируем: 3) Подставляем во (II) =0 и Теперь подставляем v’=dv/dx и разделяем переменные: Интегрируем: Левая часть равенства — табличный интеграл, интеграл в правой части находим по формуле интегрирования по частям: Подставляем найденные v и du по формуле интегрирования по частям имеем: А так как Сделаем С=-С: 4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v: 3) Проинтегрировать уравнение x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.
Разделим на x²(x-1)≠0 обе части уравнения и слагаемое с y² перенесем в правую часть: Это — уравнение Бернулли, 1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Как обычно, эти выражения подставляем в первоначальное условие: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0. 2) Отсюда x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Группируем слагаемые, содержащие v (v² — не трогаем): v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Теперь требуем равенства нулю выражения в скобках: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, отсюда x²(x-1)u’=x(x-2)u. В уравнении разделяем переменные u и x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на x²(x-1)u≠0: В левой части уравнения — табличный интеграл. Рациональную дробь в правой части надо разложить на простейшие дроби: При x=1: 1-2=A·0+B·1, откуда B=-1. При x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, откуда A=2. ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. По свойствам логарифмов: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, откуда u=x²/(x-1). 3) В равенство (III) подставляем =0 и u=x²/(x-1). Получаем: 0+x²(x-1)v’u=u²v², v’=dv/dx, подставляем: вместо С возьмем — С, чтобы, умножив обе части на (-1), избавиться от минусов: Теперь приведем выражения в правой части к общему знаменателю и найдем v: 4) Так как y=uv, подставляя найденные функции u и v, получаем: Примеры для самопроверки: 1) Убедимся, что это — уравнение Бернулли. Поделив на x обе части, имеем:
1) Замена y=uv, откуда y’=u’v+v’u. Эти y и y’ подставляем в первоначальное условие: 2) Группируем слагаемые с v: Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю и находим из этого условия u: Интегрируем обе части уравнения: 3) В уравнение (*) подставляем =0 и u=1/x²: Интегрируем обе части получившегося уравнения.Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
и уравнение Бернулли
Подставляя это уравнение в x=C(y)e^{\sin{y}}
, получаем общее решение исходного уравнения, а значит, и данного уравнения:Уравнение Бернулли
Отсюда получаем общий интеграл данного уравнения