Линия тренда в Excel на разных графиках. Аналитическое сглаживание временного ряда
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
и таблица следующего вида:
t | y | t 2 | y 2 | t y | y(t) |
1 | |||||
... | ... | ... | ... | ... | ... |
N | |||||
ИТОГО | ∑ | ∑ | ∑ | ∑ | ∑ |
Инструкция . Укажите количество данных (количество строк). Полученное решение сохраняется в файле Word и Excel .
Тенденция временного ряда характеризует совокупность факторов, оказывающих долговременное влияние и формирующих общую динамику изучаемого показателя.
Способ отсчета времени от условного начала
Для определения параметров математической функции при анализе тренда в рядах динамики используется способ отсчета времени от условного начала. Он основан на обозначении в ряду динамики показаний времени таким образом, чтобы ∑t i . При этом в ряду динамики с нечетным числом уровней порядковый номер уровня, находящегося в середине ряда, обозначают через нулевое значение и принимают его за условное начало отсчета времени с интервалом +1 всех последующих уровней и –1 всех предыдущих уровней. Например, при обозначения времени будут: –2, –1, 0, +1, +2 . При четном числе уровней порядковые номера верхней половины ряда (от середины) обозначаются числами: –1, –3, –5 , а нижней половины ряда обозначаются +1, +3, +5 .Пример . Статистическое изучение динамики численности населения.
- С помощью цепных, базисных, средних показателей динамики оцените изменение численности, запишите выводы.
- С помощью метода аналитического выравнивания (по прямой и параболе, определив коэффициенты с помощью МНК) выявите основную тенденцию в развитии явления (численность населения Республики Коми). Оцените качество полученных моделей с помощью ошибок и коэффициентов аппроксимации.
- Определите коэффициенты линейного и параболического трендов с помощью средств «Мастера диаграмм». Дайте точечный и интервальный прогнозы численности на 2010 г. Запишите выводы.
1990 | 1996 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 |
1249 | 1133 | 1043 | 1030 | 1016 | 1005 | 996 | 985 | 975 | 968 |
а) Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов
. Используем способ отсчета времени от условного начала.
Система уравнений МНК для линейного тренда имеет вид:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
t | y | t 2 | y 2 | t y |
-9 | 1249 | 81 | 1560001 | -11241 |
-7 | 1133 | 49 | 1283689 | -7931 |
-5 | 1043 | 25 | 1087849 | -5215 |
-3 | 1030 | 9 | 1060900 | -3090 |
-1 | 1016 | 1 | 1032256 | -1016 |
1 | 1005 | 1 | 1010025 | 1005 |
3 | 996 | 9 | 992016 | 2988 |
5 | 985 | 25 | 970225 | 4925 |
7 | 975 | 49 | 950625 | 6825 |
9 | 968 | 81 | 937024 | 8712 |
0 | 10400 | 330 | 10884610 | -4038 |
Для наших данных система уравнений примет вид:
10a 0 + 0a 1 = 10400
0a 0 + 330a 1 = -4038
Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение
Получаем a 0 = -12.236, a 1 = 1040
Уравнение тренда:
y = -12.236 t + 1040
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.
б) выравнивание по параболе
Уравнение тренда имеет вид y = at 2 + bt + c
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a 0 n + a 1 ∑t + a 2 ∑t 2 = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 + a 2 ∑t 3 = ∑yt
a 0 ∑t 2 + a 1 ∑t 3 + a 2 ∑t 4 = ∑yt 2
t | y | t 2 | y 2 | t y | t 3 | t 4 | t 2 y |
-9 | 1249 | 81 | 1560001 | -11241 | -729 | 6561 | 101169 |
-7 | 1133 | 49 | 1283689 | -7931 | -343 | 2401 | 55517 |
-5 | 1043 | 25 | 1087849 | -5215 | -125 | 625 | 26075 |
-3 | 1030 | 9 | 1060900 | -3090 | -27 | 81 | 9270 |
-1 | 1016 | 1 | 1032256 | -1016 | -1 | 1 | 1016 |
1 | 1005 | 1 | 1010025 | 1005 | 1 | 1 | 1005 |
3 | 996 | 9 | 992016 | 2988 | 27 | 81 | 8964 |
5 | 985 | 25 | 970225 | 4925 | 125 | 625 | 24625 |
7 | 975 | 49 | 950625 | 6825 | 343 | 2401 | 47775 |
9 | 968 | 81 | 937024 | 8712 | 729 | 6561 | 78408 |
0 | 10400 | 330 | 10884610 | -4038 | 0 | 19338 | 353824 |
Для наших данных система уравнений имеет вид
10a 0 + 0a 1 + 330a 2 = 10400
0a 0 + 330a 1 + 0a 2 = -4038
330a 0 + 0a 1 + 19338a 2 = 353824
Получаем a 0 = 1.258, a 1 = -12.236, a 2 = 998.5
Уравнение тренда:
y = 1.258t 2 -12.236t+998.5
Ошибка аппроксимации для параболического уравнения тренда.
Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.
Минимальная ошибка аппроксимации при выравнивании по параболе. К тому же коэффициент детерминации R 2 выше чем при линейной. Следовательно, для прогнозирования необходимо использовать уравнение по параболе.
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.
m = 1 - количество влияющих факторов в уравнении тренда.
Uy = y n+L ± K
где
L - период упреждения; у n+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; T табл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2
.
По таблице Стьюдента находим Tтабл
T табл (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306
Точечный прогноз, t = 10: y(10) = 1.26*10 2 -12.24*10 + 998.5 = 1001.89 тыс. чел.
1001.89 - 71.13 = 930.76 ; 1001.89 + 71.13 = 1073.02
Интервальный прогноз:
t = 9+1 = 10: (930.76;1073.02)
Покажем пример подробного расчета параметров уравнения тренда на основе следующих данных (см. таблицу) с использованием калькулятора .
Линейное уравнение тренда имеет вид y = at + b.
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов
.
Система уравнений МНК:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
t | y | t 2 | y 2 | t y | y(t) | (y-y cp) 2 | (y-y(t)) 2 | (t-t p) 2 | (y-y(t)) : y |
1 | 17.4 | 1 | 302.76 | 17.4 | 12.26 | 895.01 | 26.47 | 30.25 | 0.3 |
2 | 26.9 | 4 | 723.61 | 53.8 | 18.63 | 416.84 | 68.39 | 20.25 | 0.31 |
3 | 23 | 9 | 529 | 69 | 25 | 591.3 | 4.02 | 12.25 | 0.0872 |
4 | 23.7 | 16 | 561.69 | 94.8 | 31.38 | 557.75 | 58.98 | 6.25 | 0.32 |
5 | 27.2 | 25 | 739.84 | 136 | 37.75 | 404.68 | 111.4 | 2.25 | 0.39 |
6 | 34.5 | 36 | 1190.25 | 207 | 44.13 | 164.27 | 92.72 | 0.25 | 0.28 |
7 | 50.7 | 49 | 2570.49 | 354.9 | 50.5 | 11.45 | 0.0383 | 0.25 | 0.0039 |
8 | 61.4 | 64 | 3769.96 | 491.2 | 56.88 | 198.34 | 20.44 | 2.25 | 0.0736 |
9 | 69.3 | 81 | 4802.49 | 623.7 | 63.25 | 483.27 | 36.56 | 6.25 | 0.0872 |
10 | 94.4 | 100 | 8911.36 | 944 | 69.63 | 2216.84 | 613.62 | 12.25 | 0.26 |
11 | 61.1 | 121 | 3733.21 | 672.1 | 76 | 189.98 | 222.11 | 20.25 | 0.24 |
12 | 78.2 | 144 | 6115.24 | 938.4 | 82.38 | 953.78 | 17.46 | 30.25 | 0.0534 |
78 | 567.8 | 650 | 33949.9 | 4602.3 | 567.8 | 7083.5 | 1272.21 | 143 | 2.41 |
Для наших данных система уравнений имеет вид:
12a 0 + 78a 1 = 567.8
78a 0 + 650a 1 = 4602.3
Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение
Получаем a 0 = 6.37, a 1 = 5.88
Примечание: значения столбца №6 y(t) рассчитываются на основе полученного уравнения тренда. Например, t = 1: y(1) = 6.37*1 + 5.88 = 12.26
Уравнение тренда
y = 6.37 t + 5.88Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда.
Средние значения:
Дисперсия
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент эластичности
Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.
Коэффициент детерминации
т.е. в 82.04 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая
2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда
.
Дисперсия ошибки уравнения.
где m = 1 - количество влияющих факторов в модели тренда.
Стандартная ошибка уравнения.
3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда
.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
По таблице Стьюдента находим Tтабл
T табл (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228
>
Статистическая значимость коэффициента a 0 подтверждается. Оценка параметра a 0 является значимой и тренд у временного ряда существует..
Статистическая значимость коэффициента a 1 не подтверждается.
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда
.
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими:
(a 1 - t набл S a 1 ;a 1 + t набл S a 1)
(6.375 - 2.228*0.943; 6.375 + 2.228*0.943)
(4.27;8.48)
(a 0 - t набл S a 0 ;a 0 + t набл S a 0)
(5.88 - 2.228*6.942; 5.88 + 2.228*6.942)
(-9.59;21.35)
Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента a 0 статистически незначима.
2) F-статистика. Критерий Фишера.
Fkp = 4.84
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим
Проверка на наличие автокорреляции остатков
.
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.
Автокорреляция (последовательная корреляция)
определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.
В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция
, нежели отрицательная автокорреляция
. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.
Отрицательная автокорреляция
фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).
Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию
, можно выделить следующие:
1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).
4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.
Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности
: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.
Обнаружение автокорреляции
1. Графический метод
Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения e i с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения e i (либо оценки отклонений).
Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.
Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости e i от e i-1
Критерий Дарбина-Уотсона
.
Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.
При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин e i .
y | y(x) | e i = y-y(x) | e 2 | (e i - e i-1) 2 |
17.4 | 12.26 | 5.14 | 26.47 | 0 |
26.9 | 18.63 | 8.27 | 68.39 | 9.77 |
23 | 25 | -2 | 4.02 | 105.57 |
23.7 | 31.38 | -7.68 | 58.98 | 32.2 |
27.2 | 37.75 | -10.55 | 111.4 | 8.26 |
34.5 | 44.13 | -9.63 | 92.72 | 0.86 |
50.7 | 50.5 | 0.2 | 0.0384 | 96.53 |
61.4 | 56.88 | 4.52 | 20.44 | 18.71 |
69.3 | 63.25 | 6.05 | 36.56 | 2.33 |
94.4 | 69.63 | 24.77 | 613.62 | 350.63 |
61.1 | 76 | -14.9 | 222.11 | 1574.09 |
78.2 | 82.38 | -4.18 | 17.46 | 115.03 |
1272.21 | 2313.98 |
Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона
:
Критические значения d 1 и d 2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 12 и количества объясняющих переменных m=1.
Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:
d 1 < DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 1.82 < 2.5, то автокорреляция остатков отсутствует
.
Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
По таблице Дарбина-Уотсона для n=12 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d 1 = 1.08; d 2 = 1.36.
Поскольку 1.08 < 1.82 и 1.36 < 1.82 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков отсутствует
.
Проверка наличия гетероскедастичности
.
1) Методом графического анализа остатков
.
В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X, а по оси ординат либо отклонения e i , либо их квадраты e 2 i .
Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.
2) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена
.
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
.
Присвоим ранги признаку Y и фактору X. Найдем сумму разности квадратов d 2 .
По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
t | e i | ранг X, d x | ранг e i , d y | (d x - d y) 2 |
1 | -5.14 | 1 | 4 | 9 |
2 | -8.27 | 2 | 2 | 0 |
3 | 2 | 3 | 7 | 16 |
4 | 7.68 | 4 | 9 | 25 |
5 | 10.55 | 5 | 11 | 36 |
6 | 9.63 | 6 | 10 | 16 |
7 | -0.2 | 7 | 6 | 1 |
8 | -4.52 | 8 | 5 | 9 | t табл (n-m-1;α/2) = (10;0.05/2) = 2.228
Является тренд . Одним из наиболее популярных способов моделирования тенденции временного ряда является нахождение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени. Этот способ называется аналитическим выравниванием временного ряда.
Зависимость показателя от времени может принимать разные формы, поэтому находят различные функции: линейную, гиперболу, экспоненту, степенную функцию, полиномы различных степеней. Временной ряд исследуют аналогично линейной регрессии.
Параметры любого тренда можно определить обычным методом наименьших квадратов, используя в качестве фактора время t = 1, 2,…, n, а в качестве зависимой переменной используют уровни временного ряда. Для нелинейных трендов сначала проводят процедуру линеаризации.
К числу наиболее распространенных способов определения типа тенденции относят качественный анализ изучаемого ряда , построение и анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет основных показателей динамики. В этих же целях можно часто используют и .
Линейный тренд
Тип тенденции определяют путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка. Если временной ряд имеет линейный тренд, то его соседние уровни yt и yt-1 тесно коррелируют. В таком случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть максимальный. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, то чем сильнее выделена нелинейная тенденция во временном ряду, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.
Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит , можно осуществить перебором основных видов тренда, расчета по каждому уравнению коэффициента корреляции и выбора уравнения тренда с максимальным значением коэффициента.
Параметры тренда
Наиболее простую интерпретацию имеют параметры экспоненциального и линейного трендов.
Параметры линейного тренда интерпретируют так: а — исходный уровень временного ряда в момент времени t = 0; b - средний за период абсолютный прирост уровней рада.
Параметры экспоненциального тренда имеют такую интерпретацию. Параметр а - это исходный уровень временного ряда в момент времени t = 0. Величина exp(b) - это средний в расчете на единицу времени коэффициент роста уровней ряда.
По аналогии с линейной моделью расчетные значения уровней рада по экспоненциальному тренду можно определить путем подстановки в уравнение тренда значений времени t = 1,2,…, n, либо в соответствии с интерпретацией параметров экспоненциального тренда: каждый последующий уровень такого ряда есть произведение предыдущего уровня на соответствующий коэффициент роста
При наличии неявной нелинейной тенденции нужно дополнять описанные выше методы выбора лучшего уравнения тренда качественным анализом динамики изучаемого показателя, для того, чтобы избежать ошибок спецификации при выборе вида тренда. Качественный анализ предполагает изучение проблем возможного наличия в исследуемом ряду поворотных точек и изменения темпов прироста, начиная с определенного момента времени под влиянием ряда факторов, и т. д. В том случае если уравнение тренда выбрано неправильно при больших значениях t, результаты прогнозирования динамики временного ряда с использованием исследуемого уравнения будут недостоверными по причине ошибки спецификации.
Иллюстрация возможного появления ошибки спецификации приведем на рисунке
Если оптимальной формой тренда является парабола, в то время как на самом деле имеет место линейная тенденция, то при больших t парабола и линейная функция естественно будут по разному описывать тенденцию в уровнях ряда.
Тренд (от англ. trend - тенденция ) - это долговременная тенденция изменения исследуемого временного ряда. Тренды могут быть описаны различными уравнениями - линейными, логарифмическими, степенными и так далее. Фактический тип тренда устанавливают на основе подбора его функциональной модели статистическими методами либо сглаживанием исходного временного ряда.
Тренд в экономике - это направление преимущественного движения показателей. Обычно рассматривается в рамках технического анализа, где подразумевают направленность движения цен или значений индексов. Чарльз Доу отмечал, что при восходящем тренде последующий пик на графике должен быть выше предыдущих, при нисходящем тренде последующие спады на графике должны быть ниже предыдущих.
Различают следующие их виды:
Выделяют тренды восходящий (бычий), нисходящий (медвежий) и боковой (флэт). На графике часто рисуют линию тренда, которая на восходящем тренде соединяет две или более впадины цены (линия находится под графиком, визуально его поддерживая и поддталкивая вверх), а на нисходящем тренде соединяет два или более пика цены (линия находится над графиком, визуально его ограничивая и придавливая вниз). Трендовые линии являются линиями поддержки (для восходящего тренда) и сопротивления (для нисходящего тренда). Понятия «бычий» и «медвежий» используются по аналогии с понятиями . Типы тренда
Методы оценки трендаПараметрическиеРассматривают временной ряд как гладкую функцию от t: Xt = f(t),t = 1…n;. При этом сначала выявляют один либо несколько допустимых типов функций f(t); затем различными методами (например, МНК) оценивают параметры этих функций, после чего на основе проверки критериев адекватности выбирают окончательную модель тренда. Важное значение для практических приложений имеют линеаризуемые тренды, то есть тренды, приводимые к линейному виду относительно параметров использованием тех или иных алгебраических преобразований. НепараметрическиеЭто разные методы сглаживания исходного временного ряда - скользящие средние (простая, взвешенная), экспоненциальное сглаживание. Эти методы применяются как для оценки тренда, так и для прогнозирования. Они полезны в случае, когда для оценки тренда не удается подобрать подходящую функцию. Линии трендаТрендовые линии широко используются в техническом анализе. На данный момент существует множество методов их построения и интерпретации. Линия тренда - это прямая линия, соединяющая как минимум два пика цен на графике движения курса валюты (актива). Также нужно отметить, что в пределах развития основного тренда идущего по одной линии, может формироваться множество второстепенных трендов, формирующихся по дополнительным трендовым линиям. Трендовые линии могут пробиваться ценной также как уровни поддержки и сопротивления. Показывая этим окончания текущего тренда. Существует три вида линий тренда: 1.Восходящая - строится по минимумам волн восходящего тренда и выступает в роли линии поддержки. На рисунке показана восходящая линия тренда и нижние точки, по которым она была построена 2.Нисходящая - строится по вершинам волн медвежьего тренда и выступающая в роли линии сопротивления. На рисунке показана нисходящая линия тренда и верхние точки, по которым она была построена 3.Горизонтальная - соединяет равные по значению максимумы или минимумы, которые зачастую поочередно меняют один одного. Такая линия рисуется при горизонтальном движении - флэте. Выступает одновременно в роли горизонтальны линий поддержки и сопротивления. На рисунке показаны горизонтальные линии тренда и верхние/нижние точки, по которым они были построены Линии тренда классифицируются по степени важности при помощи четырех показателей:
Трендовая линия является актуальной до тех пор, пока цена не пробивает ее в противоположную текущему тренду сторону. Показывая тем самым окончание текущего тренда. |
В главе 2 было рассмотрено понятие о тенденции временного ряда, т.е. тенденции динамики развития изучаемого показателя. Задача данной главы состоит в том, чтобы рассмотреть основные типы таких тенденций, их свойства, отражаемые с большей или меньшей степенью полноты уравнением линии тренда. Укажем при этом, что в отличие от простых систем механики тенденции изменения показателей сложных социальных, экономических, биологических и технических систем только с некоторым приближением отражаются тем или иным уравнением, линией тренда.
В данной главе рассматриваются далеко не все известные в математике линии и их уравнения, а лишь набор их сравнительно простых форм, который мы считаем достаточным для отображения и анализа большинства встречающихся на практике тенденций временных рядов. При этом желательно всегда выбирать из нескольких типов линий, достаточно близко выражающих тенденцию, более простую линию. Этот «принцип простоты» обоснован тем, что чем сложнее уравнение линии тренда, чем большее число параметров оно содержит, тем при равной степени приближения труднее дать надежную оценку этих параметров по ограниченному числу уровней ряда и тем больше ошибка оценки этих параметров, ошибки прогнозируемых уровней.
4.1. Прямолинейный тренд и его свойства
Самым простым типом линии тренда является прямая линия, описываемая линейным (т.е. первой степени) уравнением тренда:
где - выровненные, т.е. лишенные колебаний, уровни тренда для лет с номеромi;
а - свободный член уравнения, численно равный среднему выровненному уровню для момента или периода времени, принятого за начало отсчета, т.е. для
t = 0;
b - средняя величина изменения уровней ряда за единицу изменения времени;
ti - номера моментов или периодов времени, к которым относятся уровни временного ряда (год, квартал, месяц, дата).
Среднее изменение уровней ряда за единицу времени - главный параметр и константа прямолинейного тренда. Следовательно, этот тип тренда подходит для отображения тенденции примерно равномерных изменений уровней: равных в среднем абсолютных приростов или абсолютных сокращений уровней за равные промежутки времени. Практика показывает, что такой характер динамики встречается достаточно часто. Причина близких к равномерному абсолютных изменений уровней ряда состоит в следующем: многие явления, как, например, урожайность сельскохозяйственных культур, численность населения региона, города, сумма дохода населения, среднее потребление какого-либо продовольственного товара и др., зависят от большого числа различных факторов. Одни из них влияют в сторону ускоренного роста изучаемого явления, другие - в сторону замедленного роста, третьи - в направлении сокращения уровней и т.д. Влияние разнонаправленных и разноускоренных (замедленных) сил факторов взаимно усредняется, частично взаимно погашается, а равнодействующая их влияний приобретает характер, близкий к равномерной тенденции. Итак, равномерная тенденция динамики (или застоя) - это результат сложения влияния большого количества факторов на изменение изучаемого показателя.
Графическое изображение прямолинейного тренда - прямая линия в системе прямоугольных координат с линейным (арифметическим) масштабом на обеих осях. Пример линейного тренда дан на рис. 4.1.
Абсолютные изменения уровней в разные годы не были точно одинаковыми, но общая тенденция сокращения численности занятых в народном хозяйстве очень хорошо отражается прямолинейным трендом. Его параметры вычислены в гл. 5 (табл. 5.3).
Основные свойства тренда в форме прямой линии таковы:
Равные изменения за равные промежутки времени;
Если средний абсолютный прирост - положительная величина, то относительные приросты или темпы прироста постепенно уменьшаются;
Если среднее абсолютное изменение - отрицательная величина, то относительные изменения или темпы сокращения постепенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к предыдущему уровню;
Если тенденция к сокращению уровней, а изучаемая величина является по определению положительной, то среднее изменение b не может быть больше среднего уровняа;
При линейном тренде ускорение, т.е. разность абсолютных изменений за последовательные периоды, равно нулю.
Свойства линейного тренда иллюстрирует табл. 4.1. Уравнение тренда: = 100 +20 *ti.
Показатели динамики при наличии тенденции сокращения уровней приведены в табл. 4.2.
Таблица 4.1
Показатели динамики при линейном тренде к увеличению уровней = 100 +20 *ti.
Номер периода ti |
Темпы (цепные), % |
Ускорение |
||
Таблица 4.2
Показатели динамики при линейном тренде сокращения уровней: = 200 -20 *ti.
Номер периода ti |
Абсолютное изменение к предыдущему периоду |
Темп к предыдущему периоду, % |
Ускорение |
|