Метод лагранжа вариации произвольных постоянных. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом лагранжа
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1)
.
Существует три способа решения этого уравнения:
- метод вариации постоянной (Лагранжа).
Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа.
Метод вариации постоянной (Лагранжа)
В методе вариации постоянной мы решаем уравнение в два этапа. На первом этапе мы упрощаем исходное уравнение и решаем однородное уравнение. На втором этапе мы заменим постоянную интегрирования, полученную на первой стадии решения, на функцию. После чего ищем общее решение исходного уравнения.
Рассмотрим уравнение:
(1)
Шаг 1 Решение однородного уравнения
Ищем решение однородного уравнения:
Это уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем переменные - умножаем на dx
,
делим на y
:
Интегрируем:
Интеграл по y
- табличный :
Тогда
Потенцируем:
Заменим постоянную e C
на C
и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1
,
которую включим в C
:
Шаг 2 Заменим постоянную C на функцию
Теперь заменим постоянную C
на функцию от x
:
C → u(x)
То есть, будем искать решение исходного уравнения (1)
в виде:
(2)
Находим производную.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
По правилу дифференцирования произведения:
.
Подставляем в исходное уравнение (1)
:
(1)
;
.
Два члена сокращаются:
;
.
Интегрируем:
.
Подставляем в (2)
:
.
В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа
Решить уравнение
Решение
Решаем однородное уравнение:
Разделяем переменные:
Умножим на :
Интегрируем:
Интегралы табличные :
Потенцируем:
Заменим постоянную e C
на C
и убираем знаки модуля:
Отсюда:
Заменим постоянную C
на функцию от x
:
C → u(x)
Находим производную:
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
;
Или:
;
.
Интегрируем:
;
Решение уравнения:
.
Метод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это — линейное однородное уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x), — неоднородное линейное уравнение 1го порядка.
Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в следующем:
1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0: y=y*.
2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x).
3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x).
Рассмотрим примеры на метод вариации произвольной постоянной. Возьмем те же задания, что и в , сравним ход решения и убедимся, что полученные ответы совпадают.
1) y’=3x-y/x
Перепишем уравнение в стандартном виде (в отличие от метода Бернулли, где форма записи нам нужна была только для того, чтобы увидеть, что уравнение — линейное).
y’+y/x=3x (I). Теперь действуем по плану.
1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем y’=dy/dx, подставляем: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Интегрируем:
2) В полученном общем решении однородного уравнения будем считать С не константой, а функцией от x: С=С(x). Отсюда
Полученные выражения подставляем в условие (I):
Интегрируем обе части уравнения:
здесь С — уже некоторая новая константа.
3) В общее решение однородного уравнения y=C/x, где мы считали С=С(x), то есть y=C(x)/x, вместо С(x) подставляем найденное выражение x³+C: y=(x³+C)/x или y=x²+C/x. Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.
Ответ: y=x²+C/x.
2) y’+y=cosx.
Здесь уравнение уже записано в стандартном виде, преобразовывать не надо.
1) Решаем однородное линейное уравнение y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Интегрируем:
Чтобы получить более удобную форму записи, экспоненту в степени С примем за новую С:
Это преобразование выполнили, чтобы удобнее было находить производную.
2) В полученном общем решении линейного однородного уравнения считаем С не константой, а функцией от x: С=С(x). При этом условии
Полученные выражения y и y’ подставляем в условие:
Умножим обе части уравнения на
Интегрируем обе части уравнения по формуле интегрирования по частям, получаем:
Здесь С уже не функция, а обычная константа.
3) В общее решение однородного уравнения
подставляем найденную функцию С(x):
Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.
Метод вариации произвольной постоянной применим и для решения .
y’x+y=-xy².
Приводим уравнение к стандартному виду: y’+y/x=-y² (II).
1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Теперь интегрируем:
Подставляем полученные выражения в условие (II):
Упрощаем:
Получили уравнение с разделяющимися переменными относительно С и x:
Здесь С — уже обычная константа. В процессе интегрирования писали вместо С(x) просто С, чтобы не перегружать запись. А в конце вернулись к С(x), чтобы не путать С(x) с новой С.
3) В общее решение однородного уравнения y=C(x)/x подставляем найденную функцию С(x):
Получили такой же ответ, что и при решении способом Бернулли.
Примеры для самопроверки:
1. Перепишем уравнение в стандартном виде:y’-2y=x.
1) Решаем однородное уравнение y’-2y=0. y’=dy/dx, отсюда dy/dx=2y, умножаем обе части уравнения на dx, делим на y и интегрируем:
Отсюда находим y:
Выражения для y и y’ подставляем в условие (для краткости будем питать С вместо С(x) и С’ вместо C"(x)):
Для нахождения интеграла в правой части применяем формулу интегрирования по частям:
Теперь подставляем u, du и v в формулу:
Здесь С =const.
3) Теперь подставляем в решение однородного
Метод вариации произвольных постоянных
Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения
a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + ... + a 1 (t )z "(t ) + a 0 (t )z (t ) = f (t )
состоит в замене произвольных постоянных c k в общем решении
z (t ) = c 1 z 1 (t ) + c 2 z 2 (t ) + ... + c n z n (t )
соответствующего однородного уравнения
a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + ... + a 1 (t )z "(t ) + a 0 (t )z (t ) = 0
на вспомогательные функции c k (t ) , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе
Определителем системы (1) служит вронскиан функций z 1 ,z 2 ,...,z n , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .
Если - первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция
является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам .
Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме
состоит в построении частного решения (1) в виде
где Z (t ) - базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при t = t 0 имеет вид
Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:
Матрица Z (t )Z − 1 (τ) называется матрицей Коши оператора L = A (t ) .
Внешние ссылки
- exponenta.ru - Теоретическая справка c примерами
Wikimedia Foundation . 2010 .
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами произвольного n-го порядка:
(1)
.
Метод вариации постоянной, рассмотренный нами для уравнения первого порядка , также применим и для уравнений более высоких порядков.
Решение выполняется в два этапа. На первом этапе мы отбрасываем правую часть и решаем однородное уравнение. В результате получаем решение, содержащее n произвольных постоянных. На втором этапе мы варьируем постоянные. То есть мы считаем, что эти постоянные являются функциями от независимой переменной x и находим вид этих функций.
Хотя мы здесь рассматриваем уравнения с постоянными коэффициентами, но метод Лагранжа также применим и для решения любых линейных неоднородных уравнений . Для этого, однако, должна быть известна фундаментальная система решений однородного уравнения.
Шаг 1. Решение однородного уравнения
Как и в случае уравнений первого порядка, вначале мы ищем общее решение однородного уравнения, приравнивая правую неоднородную часть к нулю:
(2)
.
Общее решение такого уравнения имеет вид:
(3)
.
Здесь - произвольные постоянные; - n
линейно независимых решений однородного уравнения (2), которые образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.
Шаг 2. Вариация постоянных - замена постоянных функциями
На втором этапе мы займемся вариацией постоянных. Другими словами, мы заменим постоянные на функции от независимой переменной x
:
.
То есть мы ищем решение исходного уравнения (1) в следующем виде:
(4)
.
Если мы подставим (4) в (1), то получим одно дифференциальное уравнение для n функций . При этом мы можем связать эти функции дополнительными уравнениями. Тогда получится n уравнений, из которых можно определить n функций . Дополнительные уравнения можно составить различными способами. Но мы это сделаем так, чтобы решение имело наиболее простой вид. Для этого, при дифференцировании, нужно приравнивать к нулю члены, содержащие производные от функций . Продемонстрируем это.
Чтобы подставить предполагаемое решение (4) в исходное уравнение (1), нам нужно найти производные первых n
порядков от функции, записанной в виде (4). Дифференцируем (4), применяя правила дифференцирования суммы
и произведения
:
.
Сгруппируем члены. Сначала выпишем члены с производными от ,
а затем - члены с производными от :
.
Наложим на функции первое условие:
(5.1)
.
Тогда выражение для первой производной по будет иметь более простой вид:
(6.1)
.
Тем же способом находим вторую производную:
.
Наложим на функции второе условие:
(5.2)
.
Тогда
(6.2)
.
И так далее. В дополнительных условиях, мы приравниваем члены, содержащие производные функций ,
к нулю.
Таким образом, если выбрать следующие дополнительные уравнения для функций :
(5.k)
,
то первые производных по будут иметь наиболее простой вид:
(6.k)
.
Здесь .
Находим n
-ю производную:
(6.n)
.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1)
;
.
Учтем, что все функции удовлетворяют уравнению (2):
.
Тогда сумма членов, содержащих дают нуль. В итоге получаем:
(7)
.
В результате мы получили систему линейных уравнений для производных :
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1)
;
(7′)
.
Решая эту систему, находим выражения для производных как функции от x
.
Интегрируя, получим:
.
Здесь - уже не зависящие от x
постоянные. Подставляя в (4), получаем общее решение исходного уравнения.
Заметим, что для определения величин производных мы нигде не использовали тот факт, что коэффициенты a i являются постоянными. Поэтому метод Лагранжа применим для решения любых линейных неоднородных уравнений , если известна фундаментальная система решений однородного уравнения (2).
Примеры
Решить уравнения методом вариации постоянных (Лагранжа).
Лекция 44. Линейные неоднородные уравнения второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. (специальная правая часть).
Социальные преобразования. Государство и церковь.
Социальная политика большевиков во многом диктовалась их классовым подходом. Декретом от 10 ноября 1917 г. уничтожена сословная система, отменены дореволюционные чины, титулы и награды. Установлена выборность судей; проведена секуляризация гражданских состояний. Установлено бесплатное образование и медицинское обслуживание (декрет от 31 октября 1918 г.). Женщины уравнивались в правах с мужчинами (декреты от 16 и 18 декабря 1917 г.). Декрет о браке вводил институт гражданского брака.
Декретом СНК от 20 января 1918 года церковь отделена от государства и от системы образования. Большая часть церковного имущества конфискована. Патриарх Московский и всея Руси Тихон (избран 5 ноября 1917 года) 19 января 1918 года предал анафеме Советскую власть и призвал к борьбе против большевиков.
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка
Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой:
Теорема 1. Общее решение неоднородного уравнения (1) представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения
(2)
Доказательство . Нужно доказать, что сумма
есть общее решение уравнения (1). Докажем сначала, что функция (3) есть решение уравнения (1).
Подставляя сумму в уравнение (1) вместо у , будем иметь
Так как есть решение уравнение (2), то выражение, стоящее в первых скобках, тождественно равно нулю. Так как есть решение уравнения (1), то выражение, стоящее во вторых скобках, равно f(x) . Следовательно, равенство (4) является тождеством. Таким образом, первая часть теоремы доказана.
Докажем второе утверждение: выражение (3) есть общее решение уравнения (1). Мы должны доказать, что входящие в это выражение произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия:
(5)
каковы бы ни были числа х 0 , y 0 и (лишь бы х 0 было взято из той области, где функции а 1 , а 2 и f(x) непрерывны).
Заметив, что можно представить в форме 
. Тогда на основании условий (5) будем иметь
Решим эту систему и определим С 1 и С 2 . Перепишем систему в виде:
(6)
Заметим, что определитель этой системы есть определитель Вронского для функций у 1 и у 2 в точке х=х 0 . Так как эти функции по условию линейно независимы, то определитель Вронского не равен нулю; следовательно система (6) имеет определенное решение С 1 и С 2 , т.е. существуют такие значения С 1 и С 2 , при которых формула (3) определяет решение уравнения (1), удовлетворяющее данным начальным условиям. Что и требовалось доказать.
Перейдем к общему методу нахождения частных решений неоднородного уравнения.
Напишем общее решение однородного уравнения (2)
. (7)
Будем искать частное решение неоднородного уравнения (1) в форме (7), рассматривая С 1 и С 2 как некоторые пока неизвестные функции от х.
Продифференцируем равенство (7):
Подберем искомые функции С 1 и С 2 так, чтобы выполнялось равенство
. (8)
Если учесть это дополнительное условие, то первая производная примет вид
.
Дифференцируя теперь это выражение, найдем :
Подставляя в уравнение (1), получим
Выражения, стоящие в первых двух скобках, обращаются в нуль, так как y 1 и y 2 – решения однородного уравнения. Следовательно, последнее равенство принимает вид
. (9)
Таким образом, функция (7) будет решением неоднородного уравнения (1) в том случае, если функции С 1 и С 2 удовлетворяют уравнениям (8) и (9). Составим систему уравнений из уравнений (8) и (9).
Так как определителем этой системы является определитель Вронского для линейно независимых решений y 1 и y 2 уравнения (2), то он не равен нулю. Следовательно, решая систему, мы найдем как определенные функции от х .