Разложить в ряд тейлора онлайн решением. Разложение в ряд тейлора
"Найти разложение в ряд Маклорена функци f(x) " - именно так звучит задание по высшей математике, которое одним студентам по силам, а другие не могут справиться с примерами. Есть несколько способов разложения ряда по степенях, здесь будет дана методика разложения функций в ряд Маклорена. При развитии функции в ряд нужно хорошо уметь вычислять производные.
Пример 4.7 Разложить функцию в ряд по степеням x
Вычисления:
Выполняем разложение функции согласно формуле Маклорена. Сначала разложим в ряд знаменатель функции
напоследок умножим разложение на числитель.
Первое слагаемое - значение функции в нуле f (0) = 1/3.
Найдем производные функции первого и высших порядков f (x)
и значение этих производных в точке x=0
Далее с закономерности изменения значения производных в 0
записываем формулу для n-й
производной
Итак, знаменатель представим в виде разложения в ряд Маклорена
Умножаем на числитель и получаем искомое разложение функции в ряд по степеням х
Как видите ничего сложного здесь нет.
Все ключевые моменты базируются на умении вычислять производные и быстрому обобщении значение производной старших порядков в нуле. Следующие примеры помогут Вам научиться быстро раскладывать функцию в ряд.
Пример 4.10
Найти разложение в ряд Маклорена функции
Вычисления:
Как Вы возможно догадались раскладывать в ряд будем косинус в числителе. Для этого можете использовать формулы для бесконечно малых величин, или же вывести разложение косинуса через производные. В результате придем к следующему ряду по степеням x
Как видите имеем минимум вычислений и компактную запись разложения в ряд.
Пример 4.16
Разложить функцию в ряд по степеням x:
7/(12-x-x^2)
Вычисления:
В подобного рода примерах необходимо дробь разложить через сумму простейших дробей.
Как это делать мы сейчас не будем показывать, но с помощью неопределенных коэффициентов придем к сумме дох дробей.
Далее записываем знаменатели в показательной форме
Осталось разложить слагаемые с помощью формулы Маклорена. Подытоживая слагаемые при одинаковых степенях "икс" составляем формулу общего члена разложения функции в ряд
Последнюю часть перехода к ряду в начале трудно реализовать, поскольку сложно объединить формулы для парных и непарных индексов (степеней), но с практикой у Вас это будет получаться все лучше.
Пример 4.18
Найти разложение в ряд Маклорена функции
Вычисления:
Найдем производную этой функции:
Разложим функцию в ряд, воспользовавшись одной из формул Макларена:
Ряды почленно суммируем на основе того, что оба абсолютно совпадающие. Проинтегрировав почленно весь ряд получим разложение функции в ряд по степеням x
Между последними двумя строками разложения имеется переход который в начале у Вас будет забирать много времени. Обобщение формулы ряда не всем дается легко, поэтому не переживайте по поводу того что не можете достать красивой и компактной формулы.
Пример 4.28
Найти разложение в ряд Маклорена функции:
Запишем логарифм следующим образом
По формуле Маклорена раскладываем в ряд по степеням x
логарифм функцию
Конечное свертывания на первый взгляд сложное, однако при чередовании знаков Вы всегда получите нечто подобное. Входной урок по теме расписания функций в ряд завершено. Другие не менее интересные схемы разложения будут подробно рассмотрены в следующих материалах.
В теории функциональных рядов центральное место занимает раздел, посвященный разложению функции в ряд.
Таким образом, ставится задача: по заданной функции требуется найти такой степенной ряд
который на некотором
интервале сходился и его сумма была
равна
,
т.е.
= ..
Эта задача называется задачей разложения функции в степенной ряд.
Необходимым условием разложимости функции в степенной ряд является её дифференцируемость бесконечное число раз – это следует из свойств сходящихся степенных рядов. Такое условие выполняется, как правило, для элементарных функций в их области определения.
Итак, предположим,
что функция
имеет производные любого порядка. Можно
ли её разложить в степенной ряд, если
можно, то как найти этот ряд? Проще
решается вторая часть задачи, с неё и
начнем.
Допустим, что
функцию
можно представить в виде суммы степенного
ряда, сходящегося в интервале, содержащем
точкух
0 :
= .. (*)
где а 0 ,а 1 ,а 2 ,...,а п ,... – неопределенные (пока) коэффициенты.
Положим в равенстве (*) значение х = х 0 , тогда получим
.
Продифференцируем степенной ряд (*) почленно
= ..
и полагая здесь х = х 0 , получим
.
При следующем дифференцировании получим ряд
= ..
полагая х
= х
0 ,
получим
,
откуда
.
После п -кратного дифференцирования получим
Полагая в последнем
равенстве х
= х
0 ,
получим
,
откуда
Итак, коэффициенты найдены
,
,
,
…,
,….,
подставляя которые в ряд (*), получим
Полученный
ряд называется рядом
Тейлора
для функции
.
Таким образом, мы установили, что если функцию можно разложить в степенной ряд по степеням (х - х 0 ), то это разложение единственно и полученный ряд обязательно является рядом Тейлора.
Заметим, что ряд Тейлора можно получить для любой функции, имеющей производные любого порядка в точке х = х 0 . Но это еще не означает, что между функцией и полученным рядом можно поставить знак равенства, т.е. что сумма ряда равна исходной функции. Во-первых, такое равенство может иметь смысл только в области сходимости, а полученный для функции ряд Тейлора может и расходиться, во-вторых, если ряд Тейлора будет сходиться, то его сумма может не совпадать с исходной функцией.
3.2. Достаточные условия разложимости функции в ряд ТейлораСформулируем утверждение, с помощью которого будет решена поставленная задача.
Если функция
в некоторой
окрестности точки х
0
имеет производные до (n
+
1)-го
порядка включительно, то в этой окрестности
имеет место
формула
Тейлора
где R n (х )-остаточный член формулы Тейлора – имеет вид (форма Лагранжа)
где точка ξ лежит между х и х 0 .
Отметим, что между рядом Тейлора и формулой Тейлора имеется различие: формула Тейлора представляет собой конечную сумму, т.е. п - фиксированное число.
Напомним, что сумма ряда S (x ) может быть определена как предел функциональной последовательности частичных сумм S п (x ) на некотором промежутке Х :
.
Согласно этому, разложить функцию в ряд Тейлора означает найти такой ряд, что для любого х X
Запишем формулу Тейлора в виде, где
Заметим, что
определяет ту
ошибку, которую мы получаем, заменяй
функцию f
(x
)
многочленом
S
n
(x
).
Если
,
то
,т.е. функция
разлагается в ряд
Тейлора. Инаоборот,
если
,
то
.
Тем самыммы доказали критерий разложимости функции в ряд Тейлора.
Для того, чтобы
в некотором промежутке функция
f
(х)
разлагалась в ряд Тейлора, необходимо
и достаточно, чтобы на этом промежутке
,
где
R
n
(x
)
- остаточный член ряда Тейлора.
С помощью сформулированного критерия можно получить достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
Если в некоторой окрестности точки х 0 абсолютные величины всех производных функции ограничены одним и тем же числом М ≥ 0, т.е.
, т о в этой окрестности функция разлагается в ряд Тейлора.
Из вышеизложенного следует алгоритм разложения функции f (x ) в ряд Тейлора в окрестности точки х 0 :
1. Находим производные функции f (x ):
f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…
2. Вычисляем значение функции и значения её производных в точке х 0
f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…
3. Формально записываем ряд Тейлора и находим область сходимости полученного степенного ряда.
4. Проверяем
выполнение достаточных условий, т.е.
устанавливаем, для каких х
из области
сходимости, остаточный член R
n
(x
)
стремится
к нулю при
или
.
Разложение функций в ряд Тейлора по данному алгоритму называют разложением функции в ряд Тейлора по определению или непосредственным разложением.
Изучающим высшую математику должно быть известно, что суммой некоего степенного ряда, принадлежащего интервалу сходимости данного нам ряда, оказывается непрерывное и безграничное число раз дифференцированная функция. Возникает вопрос: можно ли утверждать, что заданная произвольная функция f(х) - это сумма некоего степенного ряда? То есть при каких условиях ф-ия f(х) может быть изображена степенным рядом? Важность такого вопроса состоит в том, что существует возможность приближенно заменить ф-ию f(х) суммой нескольких первых членов степенного ряда, то есть многочленом. Такая замена функции довольно простым выражением - многочленом - является удобной и при решении некоторых задач а именно: при решении интегралов, при вычислении и т. д.
Доказано, что для некой ф-ии f(х), в которой можно вычислить производные до (n+1)-го порядка, включая последний, в окрестности (α - R; x 0 + R) некоторой точки х = α справедливой является формула:
Данная формула носит имя известного ученого Брука Тейлора. Ряд, который получают из предыдущего, называется ряд Маклорена:
Правило, которое дает возможность произвести разложение в ряд Маклорена:
R n (х) -> 0 при n -> бесконечности. В случае если таковой существует, в нем функция f(х) должна совпадать с суммой ряда Маклорена.
Рассмотрим теперь ряды Маклорена для отдельных функций.
1. Итак, первой будет f(x) = е х. Разумеется, что по своим особенностям такая ф-ия имеет производные самых разных порядков, причем f (k) (х) = e x , где k равняется всем Подставим х=0. Получим f (k) (0) = e 0 =1, k=1,2... Исходя из вышесказанного, ряд е х будет выглядеть следующим образом:
2. Ряд Маклорена для функции f(х) = sin х. Сразу же уточним, что ф-ия для всех неизвестных будет иметь производные, к тому же f " (х) = cos х = sin(х+п/2), f "" (х) = -sin х = sin(х+2*п/2)..., f (k) (х) = sin(х+k*п/2), где k равняется любому натуральному числу. То есть, произведя несложные расчеты, можем прийти к выводу, что ряд для f(х) = sin х будет такого вида:
3. Теперь попробуем рассмотреть ф-ию f(х) = cos х. Она для всех неизвестных имеет производные произвольного порядка, причем |f (k) (x)| = |cos(х+k*п/2)|