Решение модульных уравнений. Как решать уравнения с модулем: основные правила
Среди примеров на модули
часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле
, то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m
.
Если k=0
, то есть правая сторона равна постоянной (m)
то проще искать решение уравнения с модулями графически.
Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей
на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.
Пример 1.
Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
Решение:
Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0 <->
x=0.
В точке x=0
уравнения с модулем разделяется на 2
.
При x < 0
подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
При x>0
или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2
.
Решим уравнение
для отрицательных переменных (x < 0)
. Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).
Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1)
, т.е.
Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе
и найдем решение
Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений
Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие
которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
x=-3; x=-1,4.
Пример 2.
Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
Решение:
Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0 <=>
x=1.
Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших - положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
3x-4>=0 ->
x>=4/3.
Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x< 1,
что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4
или x-3=4-3x;
4-3=3x-x
или x+3x=4+3;
2x=1
или 4x=7;
x=1/2
или x=7/4.
Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.
Пример 3.
Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.
Решение:
Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0 <=>
x=5/2=2,5.
Точка x=2,5
разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция
меняет знак при переходе через 2,5.
Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 ->
x>=-3
.
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3)
. Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
-2x+4=x+3
или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3
или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3
или x=7
.
Значение x=7
отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5].
Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5
. Получим уравнение с одним модулем
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3
или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3
или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1
или x=9
.
Первое значение x=1
не удовлетворяет условие x>2,5.
Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9,
а всего их два (x=1/3)
.Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ:
x=1/3; x=9.
Пример 4.
Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
Решение:
Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0 <=>
x=1/3.
Точка x=2,5
делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 ->
x>=3/2=1,5.
Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5
. Таким образом модульное уравнения
рассматриваем на двух интервалах
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
-3x-4=2x-3
или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3
или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5
или x=-7
.
Оба значения не попадают в промежуток
, то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5
. Получим следующее уравнение
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3
.
Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения
3x-6=2x-3
или –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6
или 2x+3x=6+3;
x=3
или 5x=9; x=9/5=1,8.
Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5
, его мы отвергаем.
Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3
.
Выполняем проверку
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3
.
Корень уравнения с модулем вычислено правильно.
Ответ:
x=1/3; x=9.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа , и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля , то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля , перестает быть препятствием для его решения.
Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.
Например, число +5, или просто 5 имеет знак "+" и абсолютное значение 5.
Число -5 имеет знак "-" и абсолютное значение 5.
Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.
Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.
Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.
Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.
Правило раскрытия модуля выглядит так:
|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и
|f(x)|= - f(x), если f(x) < 0
Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.
Чтобы решить уравнение, содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля .
Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.
Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.
А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.
Рассмотрим простой пример.
Решим уравнение:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Раскроем модуль.
|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0, т.е. если х<3
2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х<3.
Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:
А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены:
и решим это уравнение.
Это уравнение имеет корни:
х 1 =0, х 2 =3
Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 2 =3.
Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:
х 1 =2, х 2 =3
Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго - корень х=2.
Модуль числа a — это расстояние от начала координат до точки А (a ).
Чтобы понять это определение, подставим вместо переменной a любое число, например 3 и попробуем снова прочитать его:
Модуль числа 3 — это расстояние от начала координат до точки А (3 ).
Становится ясно, что модуль это ни что иное, как обычное расстояние. Давайте попробуем увидеть расстояние от начала координат до точки А(3 )
Расстояние от начала координат до точки А(3 ) равно 3 (трём единицам или трём шагам).
Модуль числа обозначает двумя вертикальными линиями, например:
Модуль числа 3 обозначается так: |3|
Модуль числа 4 обозначается так: |4|
Модуль числа 5 обозначается так: |5|
Мы искали модуль числа 3 и выяснили, что он равен 3. Так и записываем:
Читается как: «Модуль числа три равен три»
Теперь попробуем найти модуль числа -3. Опять же возвращаемся к определению и подставляем в него число -3. Только вместо точки A используем новую точку B . Точку A мы уже использовали в первом примере.
Модулем числа —3 называют расстояние от начала координат до точки B (—3 ).
Расстояние от одного пункта до другого не может быть отрицательным. Поэтому и модуль любого отрицательного числа, будучи являясь расстоянием тоже не будет отрицательным. Модуль числа -3 будет число 3. Расстояние от начала координат до точки B(-3) равно также трём единицам:
Читается как: «Модуль числа минус три равен три»
Модуль числа 0 равен 0, та как точка с координатой 0 совпадает с началом координат, т.е. расстояние от начала координат до точки O(0) равно нулю:
«Модуль нуля равен нулю»
Делаем выводы:
- Модуль числа не может быть отрицательным;
- Для положительного числа и нуля модуль равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу;
- Противоположные числа имеют равные модули.
Противоположные числа
Числа, отличающиеся только знаками называют противоположными . Например, числа −2 и 2 являются противоположными. Они отличаются только знаками. У числа −2 знак минуса, а у 2 знак плюса, но мы его не видим, потому что плюс, как мы говорили ранее, по традиции не пишут.
Еще примеры противоположных чисел:
Противоположные числа имеют равные модули. Например, найдём модули для −2 и 2
На рисунке видно, что расстояние от начала координат до точек A(−2) и B(2) одинаково равно двум шагам.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках