С 7 преобразование выражений содержащих радикалы. Как упростить сложный радикал

Алгебраические выражения, в записи которых используются не только четыре рациональных действия, но также знаки радикала (из буквенных выражений), мы называем иррациональными алгебраическими выражениями.

Таковы, например, выражения

При определении о. д. з. иррациональных алгебраических выражений следует учитывать, что выражения, находящиеся под знаком радикала четной степени, не должны быть отрицательными, При отыскании числовых значений выражения при данных буквенных значениях параметров корни четной степени понимаются в арифметическом смысле.

Пример 1. Найти о. д. з. выражения

и его значение при .

Решение. О. д. з. определяем из условий . Находим, что о. д. з. определяется неравенствами . При вычислении значения в заданной точке получаем

При преобразовании иррациональных алгебраических выражений используются все правила действий с корнями (гл. I, § 2). Рассмотрим сначала возможные упрощения выражения типа «корень из одночлена» или «корень из частного двух одночленов». Будем говорить, что корень приведен к простейшей форме, если: 1) он не содержит иррациональности в знаменателе, 2) в нем нельзя сократить его показатель с показателем подкоренного выражения и, наконец, 3) все возможные множители вынесены из-под корня. Всякий данный корень может быть приведен к простейшей форме, т. е. заменен тождественно равным ему, но таким, который отвечает всем трем перечисленным условиям.

Пример 2. Привести к простейшей форме следующие корни :

Решение, а) Сокращаем на 3 показатель корня и показатель степеней каждого из сомножителей подкоренного выражения

Выносим из-под знака корня множители а и ;

Корни, простейшие формы которых отличаются, быть может, лишь коэффициентами (числовыми или буквенными), принято называть подобными. Например, корни и подобны, так как а корни не подобны, так как

При сложении и вычитании подобных корней все они приводятся к простейшей форме, а затем корень выносится за скобки.

Пример 3. Произвести указанные действия:

Решение. Приведем каждый из корней к простейшей форме:

Теперь находим (все корни оказались подобными)

При вынесении сомножителей из-под знака корня четной степени необходимо помнить, что корень понимается в арифметическом смысле. Так, если знаки а, b не указаны, то следует писать не . Здесь о. д. з. состоит не только из значений , но и из значений а

Пример 4. Упростить выражение

Возможны следующие случаи:

Если не предполагать заранее, что , то решение примера еще усложнится, так как придется записать ответ в общей форме:

и затем разбирать четыре возможных случая: . Предоставляем завершить этот разбор читателю.

В примере, который мы сейчас решали, подкоренные выражения представлялись как точные квадраты некоторых двухчленов очевидным способом. В некоторых случаях такое представление подкоренного выражения производится не столь очевидным образом. Так, иногда можно упростить радикалы вида

Практическое занятие

Тема: Преобразование числовых и буквенных выражений, содержащих радикалы.

Цели :

Образовательная: продолжить формирование у студентов умений применять свойства степеней и корней при преобразовании выражений.

Воспитательная: воспитание самостоятельности, творческого подхода к решению задач.

Развивающая: развитие логического мышления, навыков сравнительного анализа.

Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, записи на доске, плакаты с формулами по теме: «Степени» и «Корни», индивидуальные карточки-задания.

Использование элементов педагогических технологий:

1. сотрудничества;

2. здоровьесберегающих (чередование видов деятельности);

3. информационно-коммуникационных;

4. развивающих;

5. личностно-ориентированных.

Результативность:

формирование компетенций: ценностно-смысловой, учебно-познавательной, коммуникативной, личного самосовершенствования.

План занятия.

1) Подготовительный этап.

1) Проверка усвоения пройденного материала фронтально (или индивидуально) по следующим вопросам (на экран проектируются вопросы, на которые студенты отвечают устно).

1. Что значит возвести число в степень n?

2. Как перемножить две степени с одинаковыми основаниями?

3. Как разделить две степени с одинаковыми основаниями?

4. Как возвести степень в степень?

5. Как извлечь корень из степени?

6. Чему равна нулевая степень числа?

7. Как найти степень с отрицательным показателем?

9. Как найти корень с дробным показателем?

10. Сформулируйте основное свойство корня.

11. Как извлечь корень из произведения?

12. Как извлечь корень из дроби?

13. Как извлечь корень из степени?

14. Как производится умножение корней одинаковой степени?

15. Как производится умножение корней разных степеней?

16. Как производится деление корней одинаковой степени?

17. Как производится возведение корня в степень?

2) Повторить:

свойства корней	свойства степеней

2) Теоретический этап.

Применение знаний при решении типовых заданий.

Задание 1 . Привести к общему показателю корни:

Задание 2.

Задание 3. Извлечь корень:

Задание 4. Выполните действия:

Задание 5 . Вычислите:

3) Практический этап.

Самостоятельное применение умений и знаний.

Провести самостоятельную работу в 15 вариантах.

1. Привести к общему показателю корни:

2.Сократить показатели корней и подкоренных выражений:

3. Извлечь корень:

4. Выполните действия:

5. Вычислите:

Список литературы.

1. Алимов Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10-11 клас­сы. - М., 2014.

2. Богомолов Н.В. Математика: учебник для прикладного бакалавриата / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2014.

Свойства корней лежат в основе двух следующих преобразований, называемых внесением под знак корня и вынесением из-под знака корня, к рассмотрению которых мы и переходим.

Внесение множителя под знак корня

Внесение множителя под знак подразумевает замену выражения , где B и C – некоторые числа или выражения, а n – натуральное число, большее единицы, тождественно равным выражением, имеющим вид или .

Например, иррациональное выражение после внесения множителя 2 под знак корня принимает вид .

Теоретические основы этого преобразования, правила его проведения, а также решения всевозможных характерных примеров даны в статье внесение множителя под знак корня .

Вынесение множителя из-под знака корня

Преобразованием, в известном смысле обратным внесению множителя под знак корня, является вынесение множителя из-под знака корня. Оно состоит в представлении корня в виде произведения при нечетных n или в виде произведения при четных n , где B и C – некоторые числа или выражения.

За примером вернемся в предыдущий пункт: иррациональное выражение после вынесения множителя из-под знака корня принимает вид . Другой пример: вынесение множителя из-под знака корня в выражении дает произведение , которое можно переписать в виде .

На чем базируется это преобразование, и по каким правилам оно проводится, разберем в отдельной статье вынесение множителя из-под знака корня . Там же приведем решения примеров и перечислим способы приведения подкоренного выражения к виду, удобному для вынесения множителя.

Преобразование дробей, содержащих корни

Иррациональные выражения могут содержать дроби, в числителе и знаменателе которых присутствуют корни. С такими дробями можно проводить любые из основных тождественных преобразований дробей .

Во-первых, ничто не мешает работать с выражениями в числителе и знаменателе. В качестве примера рассмотрим дробь . Иррациональное выражение в числителе, очевидно, тождественно равно , а, обратившись к свойствам корней, выражение в знаменателе можно заменить корнем . В результате исходная дробь преобразуется к виду .

Во-вторых, можно изменить знак перед дробью, изменив знак числителя или знаменателя. Например, имеют место такие преобразования иррационального выражения: .

В-третьих, иногда возможно и целесообразно провести сокращение дроби. К примеру, как отказать себе в удовольствии сократить дробь на иррациональное выражение , в результате получаем .

Понятно, что во многих случаях, прежде чем выполнить сокращение дроби, выражения в ее числителе и знаменателе приходится раскладывать на множители, чего в простых случаях позволяют добиться формулы сокращенного умножения. А иногда сократить дробь помогает замена переменной, позволяющая от исходной дроби с иррациональностью перейти к рациональной дроби, работать с которой комфортнее и привычнее.

Для примера возьмем выражение . Введем новые переменные и , в этих переменных исходное выражение имеет вид . Выполнив в числителе

Соглашение

Правила регистрации пользователей на сайте "ЗНАК КАЧЕСТВА":

Запрещается регистрация пользователей с никами подобными: 111111, 123456, йцукенб, lox и.т.п;

Запрещается повторно регистрироваться на сайте (создавать дубль-аккаунты);

Запрещается использовать чужие данные;

Запрещается использовать чужие e-mail адреса;

Правила поведения на сайте, форуме и в комментариях:

1.2. Публикация в анкете личных данных других пользователей.

1.3. Любые деструктивные действия по отношению к данному ресурсу (деструктивные скрипты, подбор паролей, нарушение системы безопасности и т.д.).

1.4. Использование в качестве никнейма нецензурных слов и выражений; выражений, нарушающие законы Российской Федерации, нормы этики и морали; слов и фраз, похожих на никнеймы администрации и модераторов.

4. Нарушения 2-й категории: Наказываются полным запретом на отправления любых видов сообщений сроком до 7 суток. 4.1.Размещение информации, подпадающей под действие Уголовного Кодекса РФ, Административного Кодекса РФ и противоречащей Конституции РФ.

4.2. Пропаганда в любой форме экстремизма, насилия, жестокости, фашизма, нацизма, терроризма, расизма; разжигание межнациональной, межрелигиозной и социальной розни.

4.3. Некорректное обсуждение работы и оскорбления в адрес авторов текстов и заметок, опубликованных на страницах "ЗНАК КАЧЕСТВА".

4.4. Угрозы в адрес участников форума.

4.5. Размещение заведомо ложной информации, клеветы и прочих сведений, порочащих честь и достоинство как пользователей, так и других людей.

4.6. Порнография в аватарах, сообщениях и цитатах, а также ссылки на порнографические изображения и ресурсы.

4.7. Открытое обсуждение действий администрации и модераторов.

4.8. Публичное обсуждение и оценка действующих правил в любой форме.

5.1. Мат и ненормативная лексика.

5.2. Провокации (личные выпады, личная дискредитация, формирование негативной эмоциональной реакции) и травля участников обсуждений (систематическое использование провокаций по отношению к одному или нескольким участникам).

5.3. Провоцирование пользователей на конфликт друг с другом.

5.4. Грубость и хамство по отношению к собеседникам.

5.5. Переход на личности и выяснение личных отношений на ветках форума.

5.6. Флуд (идентичные или бессодержательные сообщения).

5.7. Преднамеренное неправильное написание псевдонимов и имен других пользователей в оскорбительной форме.

5.8. Редактирование цитируемых сообщений, искажающее их смысл.

5.9. Публикация личной переписки без явно выраженного согласия собеседника.

5.11. Деструктивный троллинг - целенаправленное превращение обсуждения в перепалку.

6.1. Оверквотинг (избыточное цитирование) сообщений.

6.2. Использование шрифта красного цвета, предназначенного для корректировок и замечаний модераторов.

6.3. Продолжение обсуждения тем, закрытых модератором или администратором.

6.4. Создание тем, не несущих смыслового наполнения или являющихся провокационными по содержанию.

6.5. Создание заголовка темы или сообщения целиком или частично заглавными буквами или на иностранном языке. Исключение делается для заголовков постоянных тем и тем, открытых модераторами.

6.6. Создание подписи шрифтом большим, чем шрифт поста, и использование в подписи больше одного цвета палитры.

7. Санкции, применяемые к нарушителям Правил Форума

7.1. Временный или постоянный запрет на доступ к Форуму.

7.4. Удаление учетной записи.

7.5. Блокировка IP.

8. Примечания

8.1.Применение санкций модераторами и администрацией может производиться без объяснения причин.

8.2. В данные правила могут быть внесены изменения, о чем будет сообщено всем участникам сайта.

8.3. Пользователям запрещается использовать клонов в период времени, когда заблокирован основной ник. В данном случае клон блокируется бессрочно, а основной ник получит дополнительные сутки.

8.4 Сообщение, содержащее нецензурную лексику, может быть отредактировано модератором или администратором.

9. Администрация Администрация сайта "ЗНАК КАЧЕСТВА" оставляет за собой право удаления любых сообщений и тем без объяснения причин. Администрация сайта оставляет за собой право редактировать сообщения и профиль пользователя, если информация в них лишь частично нарушает правила форумов. Данные полномочия распространяются на модераторов и администраторов. Администрация сохраняет за собой право изменять или дополнять данные Правила по мере необходимости. Незнание правил не освобождает пользователя от ответственности за их нарушение. Администрация сайта не в состоянии проверять всю информацию, публикуемую пользователями. Все сообщения отображают лишь мнение автора и не могут быть использованы для оценки мнения всех участников форума в целом. Сообщения сотрудников сайта и модераторов являются выражением их личного мнения и могут не совпадать с мнением редакции и руководства сайта.

Тема урока :

Преобразование выражений, содержащих радикалы.

Цель урока :

Образовательная:

Формирование умение решать задания на преобразование выражений, содержащих радикалы;

закрепить понятия свойства корня n -ой;

способствовать совершенствованию умений и навыков по работы в Microsoft Office Excel при обработки информации на производстве.

Развивающая:

развитие мыслительных умения: структурировать объекты (выделять составные части объекта и располагать их в иерархическом виде).

развивать творческое (продуктивное) мышление (в процессе составления ребуса),

Воспитательная:

воспитание общей и информационной культуры, трудолюбия, усидчивости, терпения, бережного отношения к компьютерной технике, привитие учащимся навыков самостоятельности в работе.

Тип урока : систематизация знаний

Вид урока: проблемный

Методические приемы: наглядно – иллюстративный: ребус, компьютерное тестирование, практический: выборочное решение примеров, задачи производственной направленности

Оборудование и наглядные средства обучения : компьютерный класс с ОС Windows XP и пакетом программ Microsoft Office 2003,мультимедийный проектор, презентация, компьютерный тест, раздаточный материал (ребус).

Межпредметные связи: математика- информатика- производственное обучение.

Ход урока:

I .Организационный момент : Подготовка учащихся к уроку

(проверка отсутствующих на уроке, наличие тетрадей), сообщение темы и целей

урока. Слайд1,2

Мотивация.

II .Актуализация опорных знаний:

2.1 Фронтальный опрос:

2.2.1 Что такое радикал? Слайд 5.

2.2.3Перечислите:

а)свойства корня n -ой степени. Слайд 6.

б) корень из дроби. Слайд7.

в)Извлечение корня из корня. Слайд 8.

г)основное свойство корня. Слайд 9.

III . Практическая работа.

Решите примеры.По ответу в примере выберите соответствующую букву в ребусе, запишите ответ в таблицу. Полученный термин «----»- организованная последовательность действий.

V . Подведение итогов урока:

Сегодня на уроке мы с вами подтвердили слова русского ученого М.В. Ломоносова

“ Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь”. (М.В.Ломоносов) . Без радикалов не возможно вычислить затраты электроэнергии по предприятию.А обучаясь в данном лицее по профессии «Оператор ЭВМ» и получая на уроках производственного обучения информацию о работе на вычислительной - техникой вы можете обработать любую информацию, пользуясь информационными технологиями. Поэтому слова Натан Ротшильд «Кто владеет информацией, владеет миром» очень актуальны при работе по вашей профессии на любом предприятии или заводе.

Выставление оценок за урок.

V .Домашнее задание: