Значение коэффициента автокорреляции первого порядка характеризует. Автокорреляция уровней временного ряда

При наличии тенденции в ряде динамики уровни ряда характеризуются автокорреляцией, т.е. каждый последующий уровень ряда зависит от предыдущего. Например, цена на товар сегодня, как правило, зависит от цены вчерашнего дня. Корреляционная связь между последовательными значениями уровней динамического ряда называется автокорреляцией уровней динамического ряда .

Для измерения автокорреляции уровней динамического ряда используется коэффициент автокорреляции уровней

где у, – фактические уровни динамического ряда; у с_ Т – уровни того же динамического ряда, но сдвинутые на τ шагов во времени; τ – величина лага (сдвига во времени), принимающая значения 1,2, 3,.... и определяющая порядок коэффициента автокорреляции.

При τ = 1 рассчитывается коэффициент автокорреляции первого порядка, т.е. измеряется корреляция текущих значений уровней динамического ряда уг с предшествующими уровнями уг_г.

При τ = 2 изучается зависимость текущих уровней ряда у, с уровнями этого же ряда, сдвинутыми на 2 временных шага у ,_2, т.е. рассчитывается коэффициент автокорреляции второго порядка, а при х = 3 – соответственно третьего порядка, при X = к – коэффициент автокорреляции к-го порядка. Чем длиннее динамический ряд, тем выше может быть порядок коэффициента автокорреляции уровней.

Коэффициент автокорреляции уровней ряда практически рассчитывается по формуле линейного коэффициента корреляции. Поэтому его величина изменяется в пределах от -1 до +1. Чем ближе его величина , тем сильнее зависимость текущих уровней динамического ряда от предыдущих.

Если ряд характеризуется четко выраженной тенденцией, то для него коэффициент автокорреляции первого порядка приближается к +1. Так, для рассмотренного ранее ряда динамики заработной платы работника коэффициент автокорреляции уровней первого порядка составил 0,9987, демонстрируя тесную связь последующих уровней ряда от предыдущих.

Поскольку в примере рассчитывается коэффициент автокорреляции первого порядка, т.е. когда τ = 1, формула его расчета приобретает вид

(5.2)

где у, – уровни ряда в момент времени f; yf_j – те же уровни ряда, но сдвинутые на год, т.е.уровни ряда в момент времени (t – 1) (предыдущий год).

Так как оба ряда (у, иум) для расчета коэффициента автокорреляции должны быть одинаковой длины, то первое значение по ряду уг в расчетах не участвует. По нашему примеру необходимые суммы для подсчета отдельных элементов формулы коэффициента автокорреляции уровней составили

Соответственно коэффициент автокорреляции уровней составит

Методика расчета коэффициентов автокорреляции более высоких порядков та же, но при этом число коррелируемых пар уменьшается. В нашем примере их восемь (ct = 2 по t = 9). Если же увеличим лаг до 2 лет, т.е. τ = 2, то останется семь коррелируемых пар (с t = 3 по ί = 9), при τ = 3 будет шесть коррелируемых пар (с t = 4 по t = 9). Ввиду уменьшения числа наблюдений при расчете коэффициента автокорреляции уровней, увеличение величины лага не беспредельно: принято считать, что максимальная величина лага должна быть не более чем п / 4 (n – длина динамического ряда). Для нашего примера при л = = 9 максимальная величина лага составит 2 года (τ = 2).

Для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка составим таблицу.

Таблица 5.1. Расчет коэффициента автокорреляции уровней второго порядка (для ряда динамики заработной платы работника)

y t – 2

y t y t – 2

* Подсчитано без первых двух строк

Так как теперь в расчете участвует семь коррелируемых пар и , то первые две строки табл. 5.1 не принимаются во внимание. Коэффициенты автокорреляции разных порядков принято обозначать где указывает на номер порядка коэффициента автокорреляции. Формула расчета коэффициента автокорреляции второго порядка следующая:

где

Соответственно коэффициент автокорреляции равен

В рассмотренном примере уровни динамического ряда имеют тенденцию к возрастанию, и коэффициенты автокорреляции приближаются к +1. Аналогичная картина будет наблюдаться и при тенденции к уменьшению уровней динамического ряда. Например, лесовосстановление в России за 1995–2002 гг. характеризуется тенденцией к снижению. Уровни ряда (в тыс. га) составили:

Коэффициенты автокорреляции первого и второго порядков оказались равными η = 0,812 и г2 =0,885, что подтверждает наличие тенденции в ряду динамики. При этом г, > 0 и г2 > 0, хотя ряд и имеет тенденцию к снижению. Чем тенденция по ряду динамики более четкая, тем ближе г, и г2 к +1.

Для стационарного динамического ряда с небольшими колебаниями уровней, гг достаточно близок к нулю и может принимать небольшое отрицательное значение. Так, предположим, что уровни ряда приняли следующие значения (последовательно во времени):

Коэффициент автокорреляции первого порядка составил -0,209, а коэффициент автокорреляции второго порядка составил 0,056.

Серию коэффициентов автокорреляции уровней ряда с последовательным увеличением величины лага принято называть автокорреляционной функцией (АКФ).

Для стационарного временного ряда с увеличением величины лага взаимосвязь у с и y,_t ослабевает и АКФ характеризуется монотонным убыванием, что графически должно представлять затухающую кривую (рис. 5.7).

По стационарному ряду АКФ оценивается исходя из формулы коэффициента автокорреляции

(5.3)

где n – длина временного ряда; τ –временной сдвиг; – средняя арифметическая по исходному ряду .

В нашем примере АКФ для стационарного ряда составила: г, = -0,209; г 2 = 0,056; г3 = -0,114; г4 – -0,356; г5 = 0,057; г6 = -0,074; г7 = -0,003. Однако при ограниченной длине динамического ряда поведение АКФ в виде рис. 5.7 не всегда соблюдается.

АКФ дает представление о внутренней структуре динамического ряда. С помощью АКФ можно определить наличие или отсутствие в ряду динамики периодических колебаний и соответственно величину периода колебаний: она равна той величине лага τ, при которой коэффициент автокорреляции уровней наибольший.

Предположим, что объем продаж товара за 18 мес. характеризуют следующим образом (рис. 5.8).

График показывает наличие тенденции, а также периодических колебаний. Это подтверждает и АКФ:

Рис. 5.7.

Рис. 5.8

Достаточно высокое значение коэффициента автокорреляции первого порядка (Г] = 0,863) означает наличие тенденции в ряде динамики. Вместе с тем максимальное значение коэффициента автокорреляции наблюдается при лаге 3 и кратном ему лаге 6, т.е. для ряда характерна регулярная колеблемость уровней через 3 мес.: подъем в течение 3 мес. сменяется спадом в следующий месяц. Иными словами, волнообразное изменение объема продаж повторяется через 3 мес., что и демонстрирует АКФ. Для динамического ряда с монотонной тенденцией к возрастанию (или уменьшению) уровней АКФ имеет значения, близкие к +1, которые медленно снижаются с возрастанием величины лага. Например, за 60 кварталов динамика объема продаж характеризовалась уравнением тренда

где у – объем продаж в тыс. руб.;

Коэффициент детерминации для него составил 0,973, характеризуя хорошее качество описания тенденции ряда: отклонения фактических уровней ряда от теоретических, обусловленных тенденцией, составляют всего 2,7%. АКФ для данного ряда оказалась следующей: rj = 0,991; г2 = 0,984; г3 = 0,980; г4 = = 0,979; г5 = 0,973; г6 = 0,968; г7 = 0,963; г8 = 0,965; г9 = 0,963; гю = 0,962; ги = 0,959; г12 = 0,957; г13 = 0,952; г14 = 0,955; г15 = 0,943.

Если ряд характеризуется сменой тенденций, то АКФ примет значения, стремительно уменьшающиеся с возрастанием величины лага, сопровождаемые иногда сменой знака коэффициента автокорреляции. Так, например динамический ряд описывается параболой второго порядка (рис. 5.9).

АКФ оказывается следующей:

Рис. 5.9.

Похожая ситуация имеет место, например, при анализе динамики числа раненых в ДТП (на 100 тыс. человек населения) за 1999–2008 гг. по Тюменской области. Тенденция описывается параболой видау = 80,537 + 45,756t- 3,5053г2. Коэффициенты автокорреляции уровней с увеличением величины лага составили: 0,831; 0,588; 0,179; -0,544.

Иными словами, знание АКФ может помочь при подборе модели рассматриваемого динамического ряда.

Для выявления структуры ряда (т. е. состава компонент) строят автокорреляционную функцию.

Автокорреляция уровней ряда – корреляционная между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L – лаг). То есть связь между рядом: Х 1 , Х 2 , ... Х n-L и рядом Х 1+L , Х 2+L , ... Х n , где L – положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L = 1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка r t,t-1 . Если L = 2, то коэффициент автокорреляции 2-го порядка r t,t-2 и т.д.

Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции, равный n/4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (I), при котором автокорреляция (r t,t-L) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда .

Если наиболее высоким оказывается значение r t,t-1 , то исследуемый ряд додержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался r t,t-L , то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом L.

Если ни один из r t,t-L (l=1;L) не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

Либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;

Либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда . График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой .

Чтобы найти коэффициент корреляции 1-го порядка, нужно найти корреляцию между рядами (расчет производится не по 14, а по 13 парам наблюдений):

Два важных свойства коэффициента автокорреляции:



1) Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. По-этому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

2) По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Сдвигаем исходный ряд на 1 уровней. Получаем следующую таблицу:

y t y t - 1
3.18 4.31
4.31 5.66
5.66 6.89
6.89 9.47
9.47 12.34
12.34 14.36
14.36 18.08
18.08 20.63
20.63 24.3
24.3 30.2
30.2 37.04
37.04 43.81
43.81 48.32

Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка .

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-1:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < r t,t-1 < 0.3: слабая;

0.3 < r t,t-1 < 0.5: умеренная;

0.5 < r t,t-1 < 0.7: заметная;

0.7 < r t,t-1 < 0.9: высокая;

0.9 < r t,t-1 < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между рядами - весьма высокая и прямая.


x y x 2 y 2 x y
3.18 4.31 10.11 18.58 13.71
4.31 5.66 18.58 32.04 24.39
5.66 6.89 32.04 47.47
6.89 9.47 47.47 89.68 65.25
9.47 12.34 89.68 152.28 116.86
12.34 14.36 152.28 206.21 177.2
14.36 18.08 206.21 326.89 259.63
18.08 20.63 326.89 425.6 372.99
20.63 24.3 425.6 590.49 501.31
24.3 30.2 590.49 912.04 733.86
30.2 37.04 912.04 1371.96 1118.61
37.04 43.81 1371.96 1919.32 1622.72
43.81 48.32 1919.32 2334.82 2116.9
230.27 275.41 6102.65 8427.36 7162.43

Сдвигаем исходный ряд на 2 уровней. Получаем следующую таблицу:

y t y t - 2
3.18 5.66
4.31 6.89
5.66 9.47
6.89 12.34
9.47 14.36
12.34 18.08
14.36 20.63
18.08 24.3
20.63 30.2
24.3 37.04
30.2 43.81
37.04 48.32

Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка .

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-2:

x y x 2 y 2 x y
3.18 5.66 10.11 32.04
4.31 6.89 18.58 47.47 29.7
5.66 9.47 32.04 89.68 53.6
6.89 12.34 47.47 152.28 85.02
9.47 14.36 89.68 206.21 135.99
12.34 18.08 152.28 326.89 223.11
14.36 20.63 206.21 425.6 296.25
18.08 24.3 326.89 590.49 439.34
20.63 30.2 425.6 912.04 623.03
24.3 37.04 590.49 1371.96 900.07
30.2 43.81 912.04 1919.32 1323.06
37.04 48.32 1371.96 2334.82 1789.77
186.46 271.1 4183.34 8408.79 5916.94

Сдвигаем исходный ряд на 3 уровней. Получаем следующую таблицу:

y t y t - 3
3.18 6.89
4.31 9.47
5.66 12.34
6.89 14.36
9.47 18.08
12.34 20.63
14.36 24.3
18.08 30.2
20.63 37.04
24.3 43.81
30.2 48.32

Расчет коэффициента автокорреляции 3-го порядка .

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-3:

x y x 2 y 2 x y
3.18 6.89 10.11 47.47 21.91
4.31 9.47 18.58 89.68 40.82
5.66 12.34 32.04 152.28 69.84
6.89 14.36 47.47 206.21 98.94
9.47 18.08 89.68 326.89 171.22
12.34 20.63 152.28 425.6 254.57
14.36 24.3 206.21 590.49 348.95
18.08 30.2 326.89 912.04 546.02
20.63 37.04 425.6 1371.96 764.14
24.3 43.81 590.49 1919.32 1064.58
30.2 48.32 912.04 2334.82 1459.26
149.42 265.44 2811.38 8376.75 4840.25

Сдвигаем исходный ряд на 4 уровней. Получаем следующую таблицу:

y t y t - 4
3.18 9.47
4.31 12.34
5.66 14.36
6.89 18.08
9.47 20.63
12.34 24.3
14.36 30.2
18.08 37.04
20.63 43.81
24.3 48.32

Расчет коэффициента автокорреляции 4-го порядка .

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-4:

x y x 2 y 2 x y
3.18 9.47 10.11 89.68 30.11
4.31 12.34 18.58 152.28 53.19
5.66 14.36 32.04 206.21 81.28
6.89 18.08 47.47 326.89 124.57
9.47 20.63 89.68 425.6 195.37
12.34 24.3 152.28 590.49 299.86
14.36 30.2 206.21 912.04 433.67
18.08 37.04 326.89 1371.96 669.68
20.63 43.81 425.6 1919.32 903.8
24.3 48.32 590.49 2334.82 1174.18
119.22 258.55 1899.34 8329.28 3965.71

Вывод : в данном ряду динамики имеется тенденция (r t,t-1 = 0.997 → 1).

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:

Автокорреляция

Вместе с этой задачей решают также:

Тест Дарбина-Уотсона

Выявление тренда методом аналитического выравнивания

Уравнение нелинейной регрессии

Показатели динамики: цепные и базисные

Анализ сезонных колебаний

Аддитивная модель временного ряда

Мультипликативная модель временного ряда

Онлайн сдача дистанционных тестов

Copyright © Semestr.RU


Список литературы

1. Практикум по эконометрике: Учебн. пособие/ Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 344 с.

2. Эконометрика: Учебник/ Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 576 с.

3. Эконометрика: Учебно-методическое пособие/ Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань: ТИСБИ, 2004. – 198 с.

Временной ряд является нестационарным , если он содержит такие систематические составляющие как тренд и цикличность.

Нестационарные временные ряды характеризуются тем, что значения каждого последующего уровня временного ряда корреляционно зависят от предыдущих значений.

Автокорреляцией уровней временного ряда называется корреляционная зависимость между настоящими и прошлыми значениями уровней данного ряда.

Лагом l называется величина сдвига между рядами наблюдений.

Лаг временного ряда определяет порядок коэффициента автокорреляции. Например, если уровни временного ряда x t и x t–1 корреляционно зависимы, то величина временного лага равна единице. Следовательно, данная корреляционная зависимость определяется коэффициентом автокорреляции первого порядка между рядами наблюдений x 1 …x n–1 и x 2 …x n . . Если лаг между рядами наблюдений равен двум, то данная корреляционная зависимость определяется коэффициентом автокорреляции второго порядка и т. д.

При увеличении величины лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на единицу. Поэтому максимальный порядок коэффициента автокорреляции рекомендуется брать равным n/4 , где n – количество уровней временного ряда.

Автокорреляция между уровнями временного ряда оценивается с помощью выборочного коэффициента автокорреляции, который рассчитывается по формуле:

где x t *x t-l – среднее арифметическое произведения двух рядов наблюдений, взятых с лагом l :

x t x 1+l ,x 2+l ,…,x n :

x t-l – значение среднего уровня ряда x 1 ,x 2 ,…,x n–l :

G(x t), G(x t–l) – средние квадратические отклонения, рассчитанные для рядов наблюдений x 1+l ,x 2+l ,…,x n и x 1 ,x 2 ,…,x n–l соответственно.

Структуру временного ряда можно определить, рассчитав несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. В результате данных вычислений можно выявить лаг l , для которого значение выборочного коэффициента автокорреляции r l является наибольшим.

Анализ структуры временного ряда с помощью коэффициентов автокорреляции стоится на следующих правилах:

1) исследуемый временной ряд содержит только трендовую компоненту, если наибольшим является значение коэффициента автокорреляции первого порядка r l–1 ;

2) исследуемый временной ряд содержит трендовую компоненту и колебания периодом l, если наибольшим является коэффициент автокорреляции порядка l. Эти колебания могут быть как циклическими, так и сезонными;

3) если ни один из коэффициентов автокорреляции r l (l =1,L ) не окажется значимым, то делается один из двух возможных выводов:

а) данный временной ряд не содержит трендовой и циклической компонент, а его колебания вызваны воздействием случайной компоненты, т. е. ряд представляет собой модель случайного тренда;

б) данный временной ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой необходимо провести его дополнительный анализ.

Графическим способом анализа структуры временного ряда является построение графиков автокорреляционной и частной автокорреляционной функций.

Автокорреляционной функцией называется функция оценки коэффициента автокорреляции в зависимости от величины временного лага между исследуемыми рядами.

Графиком автокорреляционной функции является коррелограмма.

Частная автокорреляционная функция отличается от автокорреляционной функции тем, что при её построении устраняется корреляционная зависимость между наблюдениями внутри лагов.

В значительной части временных рядов между уровнями, особенно близко расположенных, существует взаимосвязь, т.е. значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутых на несколько шагов во времени. Число уровней, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом .

y t и y t -1 , т.е. коэффициент автокорреляции 1-го порядка

, .

Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции производится по (n –1), а не по n парам наблюдений.

Определим теперь коэффициент автокорреляции 2-го порядка , коэффициент корреляции между рядами y t и y t -2 , т.е.

, (9.15)

, .

Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка уже будет производится по (n –2) парам наблюдений.

Следует учитывать, что с увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Поэтому некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный порядок коэффициента автокорреляции не должен превышать n /4.

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции:

Во-первых, он строится по аналогии с обычным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициентам автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, парабола или экспонента), коэффициенты автокорреляции уровней могут приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

По длинному временному ряду можно определить серию коэффициентов автокорреляции, последовательно увеличивая величину лага: r 1 , r 2 , r 3 , … Последовательность коэффициентов автокорреляции называется автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой .

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет уточнить структуру временного ряда, выявить наличие или отсутствие в нём тенденции или периодических колебаний. Если временной ряд характеризуется чётко выраженной линейной тенденцией, то для него коэффициент автокорреляции 1-го порядка приближается к 1. Если же временной ряд содержит периодические колебания, то и автокорреляционная функция также будет содержать периодические колебания. Если временной ряд не содержит периодических колебаний, то коррелограмма представляет собой затухающую функцию, т.е. коэффициенты автокорреляции высоких порядков приближаются к нулю.



Анализ коррелограммы – это порой довольно непростая задача. Поэтому мы кратко остановимся на типичном поведении коррелограмм для некоторых классов временных рядов. Для начала рассмотрим поведение коррелограммы для некоторых нестационарных временных рядов. На графиках кроме значений самой функции, обычно указывают доверительные пределы этой функции

Для временного ряда, содержащего тренд , коррелограмма не стремится к нулю с ростом значения лага t. Ее характерное поведение изображено на рис.9.1.

Рис. 9.1. Коррелограмма ряда урожайности зерновых культур в Росиис 1945 по 1989 гг. в ц/га: а) исходный временной ряд; б) его коррелограмма.

Для временного ряда с сезонными колебаниями коррелограмма также будет содержать периодические всплески, соответствующие периоду сезонных колебаний. Это позволяет устанавливать предполагаемый период сезонности. Типичное поведение коррелограммы приведено на рис.9.2.

Рис. 9.2. Коррелограмма ряда месячных продаж шампанского за 7 последовательных лет в логарифмической шкале (после удаления линейного тренда): а) преобразованный исходный временной ряд; б) его коррелограмма.



Пример 9.1. Имеются поквартальные условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона.

Таблица 9.7

Построить автокорреляционную функцию временного ряда.

Решение. Для расчета коэффициентов автокорреляции исходного временного ряда составим таблицу (табл. 9.8):

Таблица 9.8

t y t y t -1 y t -2 y t -3 y t -4 y t -5 y t -6
6,0 – – – – – –
4,4 6,0 – – – – –
5,0 4,4 6,0 – – – –
9,0 5,0 4,4 6,0 – – –
7,2 9,0 5,0 4,4 6,0 – –
4,8 7,2 9,0 5,0 4,4 6,0 –
6,0 4,8 7,2 9,0 5,0 4,4 6,0
10,0 6,0 4,8 7,2 9,0 5,0 4,4
8,0 10,0 6,0 4,8 7,2 9,0 5,0
5,6 8,0 10,0 6,0 4,8 7,2 9,0
6,4 5,6 8,0 10,0 6,0 4,8 7,2
11,0 6,4 5,6 8,0 10,0 6,0 4,8
9,0 11,0 6,4 5,6 8,0 10,0 6,0
6,6 9,0 11,0 6,4 5,6 8,0 10,0
7,0 6,6 9,0 11,0 6,4 5,6 8,0
10,8 7,0 6,6 9,0 11,0 6,4 5,6

Определим коэффициент корреляции между рядами y t и y t -1 , т.е. коэффициент автокорреляции 1-го порядка. Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции производится по 15, а не по 16 парам наблюдений. Составим таблицу для расчета коэффициента автокорреляции 1-го порядка (таб. 9.9):

Таблица 9.9

t y t y t -1
6,0 – – – – – –
4,4 6,0 -2,987 -1,067 3,186 8,920 1,138
5,0 4,4 -2,387 -2,667 6,364 5,696 7,111
9,0 5,0 1,613 -2,067 -3,334 2,603 4,271
7,2 9,0 -0,187 1,933 -0,361 0,035 3,738
4,8 7,2 -2,587 0,133 -0,345 6,691 0,018
6,0 4,8 -1,387 -2,267 3,143 1,923 5,138
10,0 6,0 2,613 -1,067 -2,788 6,830 1,138
8,0 10,0 0,613 2,933 1,799 0,376 8,604
5,6 8,0 -1,787 0,933 -1,668 3,192 0,871
6,4 5,6 -0,987 -1,467 1,447 0,974 2,151
11,0 6,4 3,613 -0,667 -2,409 13,056 0,444
9,0 11,0 1,613 3,933 6,346 2,603 15,471
6,6 9,0 -0,787 1,933 -1,521 0,619 3,738
7,0 6,6 -0,387 -0,467 0,180 0,150 0,218
10,8 7,0 3,413 -0,067 -0,228 11,651 0,004
Среднее 110,8 9,813 65,317 54,053

По данным таблицы находим

, .

Используя формулу (9.14), находим

.

Определим теперь коэффициент автокорреляции 2-го порядка, коэффициент корреляции между рядами y t и y t -2 . Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка уже будет производиться по 14 парам наблюдений. Составим таблицу для расчета коэффициента автокорреляции 2-го порядка (таб. 9.10):

Таблица 9.10

t y t y t -2
6,0 – – – – – –
4,4 – – – – – –
5,0 6,0 -2,600 -1,071 2,786 6,760 1,148
9,0 4,4 1,400 -2,671 -3,740 1,960 7,137
7,2 5,0 -0,400 -2,071 0,829 0,160 4,291
4,8 9,0 -2,800 1,929 -5,400 7,840 3,719
6,0 7,2 -1,600 0,129 -0,206 2,560 0,017
10,0 4,8 2,400 -2,271 -5,451 5,760 5,159
8,0 6,0 0,400 -1,071 -0,429 0,160 1,148
5,6 10,0 -2,000 2,929 -5,857 4,000 8,577
6,4 8,0 -1,200 0,929 -1,114 1,440 0,862
11,0 5,6 3,400 -1,471 -5,003 11,560 2,165
9,0 6,4 1,400 -0,671 -0,940 1,960 0,451
6,6 11,0 -1,000 3,929 -3,929 1,000 15,434
7,0 9,0 -0,600 1,929 -1,157 0,360 3,719
10,8 6,6 3,200 -0,471 -1,509 10,240 0,222
Среднее 106,4 -31,120 55,760 54,049

По данным таблицы находим

, .

Используя формулу (9.15), находим

.

Аналогичным образом рассчитываем коэффициенты автокорреляции 3-го и более высоких порядков. (Заметим, что в программе Exel коэффициенты корреляции рассчитываются при помощи функции КОРРЕЛ). В результате получим автокорреляционную функцию исходного временного ряда. Ее значения и коррелограмма приведены в таб. 9.11.

Таблица 9.11

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде, во-первых , линейной тенденции, во-вторых , сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда (см. рис. 9.1).


При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда .

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:

(4.2)

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Свойства коэффициента автокорреляции.

1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции.

2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом .

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .