Что такое точки разрыва. Классификация точек разрыва функции

Устранимый разрыв.

Определение . Точка a называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x) , если предел функции f(x) в этой точке существует, но в точке a функция f(x) либо не определена, либо имеет частное значение f(a) , отличное от предела f(x) в этой точке.

Пример . Например, функция

имеет в точке x=0 устранимый разрыв. Действительно, предельное значение этой функции в точке х=0 равно 1. Частное же значение равно 2.

Если функция f(x) имеет в точке a устранимый разрыв, то этот разрыв можно устранить, не изменяя при этом значений функции в точках, отличных от a . Для этого достаточно положить значение функции в точке a равным ее предельному значению в этой точке. Так, в рассмотренном выше примере достаточно положить f(0)=1 и тогда , т.е. функция f(x) станет непрерывной в точке x=0 .

Разрыв первого рода.

Определение . Точка a называется точкой разрыва, первого рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы

Приведем некоторые примеры.

Пример . Функция y=sgn x имеет в точке x=0 разрыв первого рода. Действительно, и, таким образом, эти пределы не равны между собой.

Пример . Функция , определенная всюду, кроме точки x=1 , имеет в точке x=1 разрыв первого рода. В самом деле, .

Разрыв второго рода.

Определение . Точка a называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Пример . Функция f(x)=tg x , очевидно, имеет разрыв второго рода в каждой из точек x k =π/2+π k , k=0, ± 1, ± 2,… , ибо в каждой такой точке

Пример . Функция имеет разрыв второго рода в точке x=0 , ибо в этой точке у нее не существует ни правого, ни левого пределов.

Непрерывность функции на отрезке

Определение . Функция, определенная на отрезке и непрерывная в каждой его точке, называется непрерывной на этом отрезке.

При этом под непрерывность в точке a понимается непрерывность справа, а под непрерывностью в точке b - непрерывность слева.

Будем говорить, что функция y=f(x) , определенная на множестве {x} достигает на нем своей верхней (нижней) грани , если существует такая точка x 0 ∈{x} , что f(x 0)=β (f(x 0)=α ).

Теорема [Вейерштрасса] . Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своей верхней грани и своей нижней грани.

Теорема [Больцано-Коши] . Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке и f(a)=A , f(b)=B , то для любого C , заключенного между A и B , существует такая точка ξ∈ , что f(ξ)=C .

Другими словами, непрерывная на отрезке функция, принимая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними значение.

Следствие . Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.

Следствие . Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке и , . Тогда функция f(x) принимает все значения из отрезка и только эти значения.

Таким образом, множество всех значений функции, заданной и непрерывной на некотором отрезке, представляет собой также отрезок.

Нечётные функции

Нечётная степень где - произвольное целое число.

· Синус .

· Тангенс .

Чётные функции

Чётная степень где - произвольное целое число.

· Косинус .

· Абсолютная величина (модуль) .

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

· Говоря более формально, функция называется периодической, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство .

· Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство , где - любое целое число.

· Все тригонометрические функции являются периодическими.

3) Нули (корни) функции - точки, где она обращается в ноль.

Нахождение точки пересечения графика с осью Oy . Для этого нужно вычислить значение f (0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox , для чего найти корни уравнения f (x ) = 0 (или убедиться в отсутствии корней).

Точки, в которых график пересекает ось , называют нулями функции . Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение , то есть найти те значения «икс» , при которых функция обращается в ноль.

4) Промежутки постоянства знаков, знаки в них.

Промежутки, где функция f(x) сохраняет знак.

Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.

ВЫШЕ оси абсцисс.

НИЖЕ оси .

5) Непрерывность (точки разрыва, характер разрыва, ассимптоты).

Непрерывная функция - функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Устранимые точки разрыва

Если предел функции существует , но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

то точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе -устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности , что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов :

· если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода . Точки устранимого разрыва являются точками разрыва первого рода;

· если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода .

Аси́мпто́та - прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви вбесконечность.

Вертикальная

Вертикальная асимптота - прямая вида при условии существования предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

Горизонтальная

Горизонтальная асимптота - прямая вида при условии существования предела

Наклонная

Наклонная асимптота - прямая вида при условии существования пределов

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.

Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.

если в п. 2.), то , и предел находится по формуле горизонтальной асимптоты, .

6) Нахождение промежутков монотонности. Найти интервалы монотонности функции f (x )(то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной f (x ). Для этого находят производную f (x ) и решают неравенство f (x ) 0. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f (x )возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство f (x ) 0, функция f (x )убывает.

Нахождение локального экстремума. Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума там, где возрастание сменяется убыванием, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием - локальные минимумы. Вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке (продолжение)

1.Найти производную функции: f (x ). 2.Найти точки, в которых производная равна нулю: f (x )=0 x 1, x 2 ,... 3.Определить принадлежность точек х 1 , х 2 , … отрезку [a ; b ]: пусть x 1 a ;b , а x 2 a ;b . 4.Найти значения функции в выбранных точках и на концах отрезка:f (x 1), f (x 2),..., f (x a ),f (x b ), 5.Выбор наибольшего и наименьшего значений функции из найденных. Замечание. Если на отрезке [a ; b ] имеются точки разрыва, то необходимо в них вычислить односторонние пределы, а затем их значения учесть в выборе наибольшего и наименьшего значений функции.

7) Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости . Это делается с помощью исследования знака второй производной f (x ). Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции. Найдя f (x ) , мы решаем неравенство f (x ) 0. На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство f (x ) 0, мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута). Определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).

Определение точек разрыва функции и их видов является продолжением темы непрерывности функции . Наглядное (графическое) объяснение смысла точек разрыва функции даётся так же в контрасте с понятием непрерывности. Научимся находить точки разрыва функции и определять их виды. И помогут нам в этом наши верные друзья - левый и правый пределы, обобщённо называемые односторонними пределами. Если у кого-то есть страх перед односторонними пределами, то скоро развеем его.

Точки на графике, которые не соединены между собой, называются точками разрыва функции . График такой функции, терпящей разрыв в точке x=2 - - на рисунке ниже.

Обобщением вышесказанного является следующее определение. Если функция не является непрерывной в точке , то она имеет в этой точке разрыв а сама точка называется точкой разрыва . Разрывы бывают первого рода и второго рода .

Для того, чтобы определять виды (характер) точек разрыва функции нужно уверенно находить пределы , поэтому нелишне открыть в новом окне соответствующий урок. Но в связи с точками разрыва у нас появляется кое-что новое и важное - односторонние (левый и правый) пределы. Обобщённо они записываются (правый предел) и (левый предел). Как и в случае с пределом вообще, для того, чтобы найти предел функции, нужно в выражение функции вместо икса подставить то, к чему стремится икс. Но, возможно, спросите вы, чем же будут отличаться правый и левый пределы, если в случае правого к иксу хотя что-то и прибавляется, но это что-то - ноль, а в случае левого из икса что-то вычитается, но это что-то - тоже ноль? И будете правы. В большинстве случаев.

Но в практике поиска точек разрыва функции и определения их вида существует два типичных случая, когда правый и левый пределы не равны:

у функции существует два или более выражений, зависящих от участка числовой прямой, к которой принадлежит икс (эти выражения обычно записываются в фигурных скобках после f (x )= );
в результате подстановки того, к чему стремится икс, получается дробь, в знаменателе которой остаётся или плюс ноль (+0) или минус ноль (-0) и поэтому такая дробь означает либо плюс бесконечность, либо минус бесконечность, а это совсем разные вещи.

Точки разрыва первого рода

Точка разрыва первого рода: у функции существуют как конечный (т. е. не равный бесконечности) левый предел, так и конечный правый предел, но функция не определена в точке или левый и правый пределы различны (не равны).

Точка устранимого разрыва первого рода. Левый и правый пределы равны. При этом существует возможность доопределить функцию в точке. Доопределить функцию в точке, говоря просто, значит обеспечить соединение точек, между которыми находится точка, в которой найдены равные друг другу левый и правый пределы. При этом соединение должно представлять собой лишь одну точку, в которой должно быть найдено значение функции.

Пример 1. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва.

Точки разрыва второго рода

Точка разрыва второго рода: точка, в которой хотя бы один из пределов (левый или правый) - бесконечный (равен бесконечности).

Пример 3.

Решение. Из выражения степени при e видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

Один из пределов равен бесконечности, поэтому точка - точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва - под примером.

Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика .

Пример 4. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции

Решение. Из выражения степени при 2 видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке.

Определение точки разрыва функции
Конечная точка x 0 называется точкой разрыва функции f(x) , если функция определена на некоторой проколотой окрестности точки x 0 , но не является непрерывной в этой точке.

То есть, в точке разрыва, функция либо не определена, либо определена, но хотя бы один односторонний предел в этой точке или не существует, или не равен значению f(x 0 ) функции в точке x 0 . См. «Определение непрерывности функции в точке ».

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода , если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва , если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .

Таким образом, точка устранимого разрыва - это точка разрыва первого рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода , если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Исследование функций на непрерывность

При исследовании функций на непрерывность мы используем следующие факты.

Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. К ним относятся следующие функции:
, а также постоянная и обратные к ним функции. См. «Справочник по элементарным функциям ».
Сумма, разность и произведение непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве.
Частное двух непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. См. «Арифметические свойства непрерывных функций »
Сложная функция непрерывна в точке , если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . См. «Предел и непрерывность сложной функции »

Примеры

Пример 1

Задана функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
.

Заданная функция является сложной. Ее можно рассматривать как композицию двух функций:
, . Тогда
.

Рассмотрим функцию . Она составлена из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и деления. Функция является элементарной - степенной функцией с показателем степени 1 . Она определена и непрерывна для всех значений переменной . Поэтому функция определена и непрерывна для всех , кроме точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем уравнение:
.
Получаем единственный корень .
Итак, функция определена и непрерывна для всех , кроме точки .

Рассмотрим функцию . Это показательная функция с положительным основанием степени. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
Поэтому заданная функция определена и непрерывна для всех значений переменной , кроме точки .

Таким образом, в точке , заданная функция является непрерывной.

График функции y = 4 1/(x+2) .

Рассмотрим точку . В этой точке функция не определена. Поэтому она не является непрерывной. Установим род разрыва. Для этого находим односторонние пределы.

Используя связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями , для предела слева имеем:
при ,
,
,
.

Здесь мы использовали следующие общепринятые обозначения:
.
Также мы использовали свойство показательной функции с основанием :
.

Аналогично, для предела справа имеем:
при ,
,
,
.

Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке разрыв второго рода.

В точке функция непрерывна.
В точке разрыв второго рода,
.

Пример 2

Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.
.

График заданной функции.

Функция является степенной функцией с целым показателем степени, равным 1 . Такую функцию также называют линейной. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .

В входят еще две функции: и . Они составлены из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и умножения:
, .
Поэтому они также непрерывны для всех .

Поскольку функции, входящие в состав непрерывны для всех , то может иметь точки разрыва только в точках склейки ее составляющих. Это точки и . Исследуем на непрерывность в этих точках. Для этого найдем односторонние пределы.

Рассмотрим точку . Чтобы найти левый предел функции в этой точке, мы должны использовать значения этой функции в любой левой проколотой окрестности точки . Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел слева:
.
Здесь мы использовали тот факт, что функция является непрерывной в точке (как и в любой другой точке). Поэтому ее левый (как и правый) предел равен значению функции в этой точке.

Найдем правый предел в точке . Для этого мы должны использовать значения функции в любой правой проколотой окрестности этой точки. Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел справа:
.
Здесь мы также воспользовались непрерывностью функции .

Поскольку, в точке , предел слева не равен пределу справа, то в ней функция не является непрерывной - это точка разрыва. Поскольку односторонние пределы конечны, то это точка разрыва первого рода. Скачек функции:
.

Теперь рассмотрим точку . Тем же способом вычисляем односторонние пределы:
;
.
Поскольку функция определена в точке и левый предел равен правому, то функция непрерывна в этой точке.

Функция имеет разрыв первого рода в точке . Скачек функции в ней: . В остальных точках функция непрерывна.

Пример 3

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
.

Воспользуемся тем, что линейная функция определена и непрерывна для всех . Заданная функция составлена из линейной функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления:
.
Поэтому она определена и непрерывна для всех , за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Найдем эти точки. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем квадратное уравнение :
;
;
; .
Тогда
.

Используем формулу:
.
С ее помощью, разложим числитель на множители:
.

Тогда заданная функция примет вид:
(П1) .
Она определена и непрерывна для всех , кроме точек и . Поэтому точки и являются точками разрыва функции.

Разделим числитель и знаменатель дроби в (П1) на :
(П2) .
Такую операцию мы можем проделать, если . Таким образом,
при .
То есть функции и отличаются только в одной точке: определена при , а в этой точке не определена.

Чтобы определить род точек разрыва, нам нужно найти односторонние пределы функции в точках и . Для их вычисления мы воспользуемся тем, что если значения функции изменить, или сделать неопределенными в конечном числе точек, то это не окажет ни какого влияние на величину или существование предела в произвольной точке (см. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела »). То есть пределы функции в любых точках равны пределам функции .

Рассмотрим точку . Знаменатель дроби в функции , при в нуль не обращается. Поэтому она определена и непрерывна при . Отсюда следует, что существует предел при и он равен значению функции в этой точке:
.
Поэтому точка является точкой устранимого разрыва первого рода.

Рассмотрим точку . Используя связь бесконечно малых и бесконечно больших функций , имеем:
;
.
Поскольку пределы бесконечные, то в этой точке разрыв второго рода.

Функция имеет точку устранимого разрыва первого рода при , и точку разрыва второго рода при .

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

Если функция f (x ) не является непрерывной в точке x = a , то говорят, что f (x ) имеетразрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a , а две имеют разрыв.


Непрерывна при x = a .		Имеет разрыв при x = a .

Непрерывна при x = a .		Имеет разрыв при x = a .
Рисунок 1.

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются наточки разрыва первого и второго рода .

Говорят, что функция f (x ) имеетточку разрыва первого рода при x = a , если в это точке

При этом возможно следующие два случая:

Функция f (x ) имеетточку разрыва второго рода при x = a , если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример3 .13 Рассмотрим функцию(функция Хевисайда ) на отрезке,. Тогданепрерывна на отрезке(несмотря на то, что в точкеона имеет разрыв первого рода).

Рис.3 .15 .График функции Хевисайда

Аналогичное определение можно дать и для полуинтервалов видаи, включая случаии. Однако можно обобщить данное определение на случай произвольного подмножестваследующим образом. Введём сначала понятиеиндуцированной набазы: пусть -- база, все окончаниякоторой имеют непустые пересечения с. Обозначимчерези рассмотрим множество всех. Нетрудно тогда проверить, что множествобудет базой. Тем самым дляопределены базы,и, где,и -- базы непроколотых двусторонних (соответственно левых, правых) окрестностей точки(их определение см. в начале текущей главы).

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [ a , b ] выполняется условие - M £ f (x ) £ M .

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х 0 , ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [ a , b ] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х 0 , то образуется некоторая окрестность точки х 0 .

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [ a , b ], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения х 1 и х 2 , что f (x 1 ) = m , f (x 2 ) = M , причем

m £ f (x ) £ M

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например - f (x ) = sinx ).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называетсяколебанием функции на отрезке.

Свойство 3: (Вторая теорема Больцано - Коши). Функция, непрерывная на отрезке [ a , b ], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

Свойство 4: Если функция f (x ) непрерывна в точке х = х 0 , то существует некоторая окрестность точки х 0 , в которой функция сохраняет знак.

Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) - Коши). Если функция f (x )- непрерывная на отрезке [ a , b ] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f (x ) = 0.

Т . е . если sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), то $ х 0 : f(x 0) = 0.

Определение. Функция f (x ) называетсяравномерно непрерывной на отрезке [ a , b ], если для любого e >0 существует D >0 такое, что для любых точек х 1 Î [ a , b ] и x 2 Î [ a , b ] таких, что

ï х 2 - х 1 ï < D

верно неравенство ï f (x 2 ) - f (x 1 ) ï < e

Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого e существует свое D , не зависящее от х, а при “обычной” непрерывности D зависит от e и х.

Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.

(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)

Пример .