Максимальные потоки. Методы применения алгоритма нахождения максимального потока в сети

Эту операцию повторяем до тех пор, пока не окажется помеченным сток. Если сток остался непомеченным, то найденный поток - максимальный, а множество дуг, связывающих помеченные вершины с непомеченными, образуют минимальный разрез.

3. Пусть сток имеет пометку (j+, ε(t)) , тогда f(j,t) заменяем на f(j,t)+ε(t) . Если же сток имеет пометку (j-, ε(t)) , то f(j,t) заменяем на f(j,t)-ε(t) . Переходим к вершине j . Если j имеет пометку (i+, ε(j)) , то заменяем f(i,j) на f(i,j)+ε(t) , а если ­(i-, ε(j)) , f(j,i) заменяем на f(j,i)-ε(t) . Переходим к вершине i . Эту операцию повторяем до тех пор, пока не достигнем источника s . Изменение потока прекращается, стираются все пометки и переходим к п.2

ПРИМЕР 3.14.

М 4 К

ЗАДАЧА. Найти наибольший поток на сети

АЛГОРИТМ

Обозначим вершину s= х 0 . Все остальные – х i .

1 этап.

1. Выбираем любой путь, все дуги которого не насыщены.

2. Увеличиваем величину потока по этому пути на единицу до тех пор, пока в нем не будет насыщенной дуги.

Процесс увеличения потока продолжаем до тех пор, пока не будет построен полный поток, т.е. любой путь будет содержать хотя бы одну насыщенную дугу.

2 этап.

2. Если х i уже помеченная вершина, то помечаем (+i) все непомеченные вершины, в которые идут не насыщенные дуги из х i , и индексом (–i) все непомеченные вершины, из которых идут дуги с ненулевым потоком в х i .

3. Если в результате этого процесса окажется помеченной вершина t , то между s и t найдется путь, все вершины которого помечены номерами предыдущих вершин. Поток во всех дугах этого пути увеличиваем на единицу, если при движении отs к t ориентация дуги совпадает с направлением движения, и уменьшаем на единицу, если дуга имеет противоположную ориентацию. Переходим к п.1.

4. Когда вершину t невозможно пометить процесс прекращается и полученный поток является наибольшим потоком сети.

ПРИМЕЧАНИЕ. Перейти к 2 этапу можно, не завершая первого этапа (см. пример 3.16).

ПРИМЕР 3.15.

9

РЕШЕНИЕ:

На заданной транспортной сети найден полный поток. Насыщенные дуги выделены

В этой сети также можно пометить конечную вершину, причем результат разметки окажется тем же самым. Изменив поток, получим сеть, в которой конечную вершину пометить невозможно, поэтому поток в ней является наибольшим и равен 10.

ПРИМЕР 3.16.

8 2 1

На заданной транспортной сети найден неполный поток

Пометим сеть и увеличим в ней поток согласно алгоритму. Получим

В этой сети также можно пометить конечную вершину, причем результат разметки окажется тем же самым. Изменив поток, получим сеть, в которой конечную вершину пометить невозможно, поэтому поток в ней является наибольшим и равен 6.

Раздел IV. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.

Динамическое программирование служит для поиска оптимальных многоэтапных решений. Например, долгосрочное планирование замены оборудования; деятельность отрасли промышленности в течение ряда лет. Оно использует принцип оптимальности, согласно которому всякое новое частичное решение должно быть оптимальным относительно достигнутого состояния.

Лучше много раз решить одну простую задачу, чем один раз сложную.

ЗАДАЧА 1. О наивыгоднейшем пути между двумя пунктами.

Требуется соорудить путь, соединяющий два пункта А и В, из которых второй лежит к северо-востоку от первого. Для простоты допустим, что прокладка пути состоит из ряда шагов, и на каждом шаге мы можем двигаться либо строго на север, либо строго на восток. Тогда любой путь представляет собой ступенчатую ломаную линию, отрезки которой параллельны одной из координатных осей. Затраты на сооружение каждого из таких отрезков известны.

ПРИМЕР 4.1. Найти минимальный путь от А до В.

Последний шаг – достижение т.В. Перед последним шагом мы могли находиться в точках, откуда за один шаг можно достичь т.В. Таких точки две (система могла находиться в одном из двух состояний). Для каждой из них существует единственный вариант достижения т.В: для одной – двигаться на восток; для другой – на север. Запишем затраты 4 и 3 в каждом случае.

4

Теперь оптимизируем предпоследний шаг. После предыдущего шага мы могли оказаться в одной из трех точек: С 1 , С 2 , С 3 .

Для т. С 1 существует единственное управление (пометим его стрелкой) – двигаться на восток, при этом затраты составят 2(на данном шаге)+4(на следующем шаге)=6. Аналогично для т. С 3 затраты составят 2+3=5. Для т.С 2 существует два управления: идти на восток или на север. В первом случае затраты составят 3+3=6, а во втором случае – 1+4=5. Значит условное оптимальное управление – идти на север. Пометим его стрелкой и занесем соответствующие затраты.

Ответ: x 1 =1; x 3 =0; x 3 =4; W=3,5

ОБОБЩЕННЫЙ АЛГОРИТМ

1. Описать систему. Т.е выяснить, какими параметрами характеризуется состояние управляемой системы перед каждым шагом. Важно уметь правильно и “скромно” поставить задачу, не переобременяя ее лишними подробностями, упрощая сколько возможно описание управляемой системы.

2. Расчленить операцию на шаги (этапы). Здесь должны быть учтены все разумные ограничения, накладываемые на управление. Шаг должен быть достаточно мелким для того, чтобы процедура оптимизации шагового управления была достаточно проста; и шаг, в то же время должен быть не слишком мелким, чтобы не производить излишних расчетов, усложняющих процедуру поиска оптимального решения, но не приводящих к существенному изменению оптимума целевой функции.

3. Выяснить набор шаговых управлений x i для каждого шага и налагаемые на них ограничения.

4. Определить, какой выигрыш приносит на i-шаге управление x i , если перед этим система была в состоянии S, т.е. записать функции выигрыша:

w i =f i (S, x i)

5. Определить, как изменяется состояние системы под влиянием управления x i на I-м шаге, т.е. записать функции изменения состояния.

S / =φ i (S, x i)

6. Записать основное рекуррентное уравнение динамического программирования, выражающее условный оптимальный выигрыш через уже известную функцию

W i (S)= max{f i (S,x i)+W i+1 (φ i (S, x i))}

7. Произвести условную оптимизацию последнего шага, делая различные предположения о том, чем кончился предпоследний шаг, и для каждого из этих предположений найти условное (выбирается исходя из условия, что шаг закончился тем-то) оптимальное управление на последнем шаге.

W m (S)= max{f m (S, x m)}

8. Произвести условную оптимизацию, начиная с предпоследнего и кончая первым шагом(пятясь назад).

9. Произвести безусловную оптимизацию управления, «читая» соответствующие рекомендации на каждом шаге: взять найденное оптимальное управление на первом шаге и изменить состояние системы, для найденного состояния найти оптимальное управление на втором шаге и т.д. до последнего шага.

ПРИНЦИП ОПТИМАЛЬНОСТИ. Каково бы ни было состояние системы перед очередным шагом, надо выбирать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на данном шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным.

Принцип динамического программирования не предполагает, что каждый шаг оптимизируется отдельно, независимо от других. Что толку выбирать управление, эффективность которого максимальна на одном конкретном шаге, если этот шаг лишит нас возможности хорошо выиграть на последующих шагах?

На практике встречаются случаи, когда планировать операцию приходится на неопределенно долгий промежуток времени. Моделью такого случая является бесконечношаговый управляемый процесс, где все шаги равноправны. Здесь функция выигрыша и функция изменения состояния не зависят от номера шага.

Раздел V. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

При обмене информацией между абонентами вычислительной сети, при параллельных вычислениях на многомашинном комплексе, когда решение задачи распределено между несколькими процессорами, при использовании в вычислительной сети общей памяти, когда каждый процессор получает ограниченный доступ к общим модулям памяти, возникает задача передачи максимального объема информации в заданный отрезок времени.

При работе транспортной системы, когда осуществляется обмен транспортными единицами между узлами сети возникает задача передачи максимального числа транспортных единиц в заданный отрезок времени.

При передаче энергии в электрических сетях, жидкости в трубопроводных системах возникает задача распределения и передачи максимального объема энергии или вещества в заданный отрезок времени.

Особенностью сети является наличие вершины-истока и вершины-стока, ориентация всех отрезков линий в графе и отсутствие петель и кратных дуг.

Объем информации, энергии или вещества, передаваемый в сети от узла x i к узлу x j , называют потоком и обозначают j ij .

Наибольший поток, который может пропустить дуга (x i , x j), называют пропускной способностью дуги и обозначают с ij .

Очевидно, что 0£j ij £ с ij .

В вершине-истоке х 0 величина потока есть сумма потоков по всем дугам, исходящим из вершины х 0 , т.е. j=å i j 0i + .

В вершине-стоке х k величина потока есть сумма потоков по всем дугам, заходящим в вершину х k , т.е. j=å i j ik - .

Для любой промежуточной вершины х i сумма исходящих потоков равна сумме заходящих потоков, т.е. å j j ij + =å k j ik - .

На рис. 3.29 показана условная сеть, содержащая вершину-исток х 0 , вершину-сток х k и две промежуточные вершины х i и х j . На каждой дуге в круглых скобках приведены обозначения потока и пропускной способности соответствующей дуги. При этом поток, подводимый к сети равен j=(j 0i +j 0j), поток отводимый от сети равен j=(j ik +j jk), поток из вершины х i в вершину х j равен j ij . Для вершины х i имеем j 0i =(j ij +j ik), для вершину х j - j jk =(j 0j +j ij).

Если множество вершин графа разбить на два непересекающихся подмножества, одно из которых содержит вершину-исток, а другое - вершину-сток, то множество дуг, соединяющих эти два множества, формируют разрез А i , пропускная способность которого равна сумме пропускных способностей дуг. Таких разрезов может быть несколько.

В таблице приведены четыре разреза для сети на рис. 3.29

Например, для разреза А 1 имеем Х’={x 0 } и X\Х’={х i , х j , х k }, для А 2 - Х’={х 0 , х i } и X\Х’={х j , х k }, для А 3 - Х’={х 0 , х i , x j } и X\Х’={х k }, для А 4 - Х’={х 0 , х j } и X\Х’={x i , х k }.

Очевидно, что величина максимального потока ограничена минимальной пропускной способностью разреза, т.е.

j max =min{С(A i)}

Итак, максимальный поток в сети с заданными пропускными способностями дуг можно находить, вычисляя пропускные способности разрезов и выбирая среди них - минимальную. Однако при таком решении остается неизвестным распределение потока по дугам.

Для поиска распределения потока по дугам разработано несколько алгоритмов. Особое место среди них занимает алгоритм Форда-Фалкерсона, суть которого состоит в разметке вершин графа.

Метка вершины графа указывает на возможность изменения потока через данную вершину и указывает источник этого изменения. На рис. 3.30 дан фрагмент сети, объясняющий суть алгоритма.

Если по дуге (х s , х i) возможно увеличение потока (j si < c si), то вершину х i следует пометить +s , что указывает на источник увеличения потока.

Если по дуге (х i , х j) возможно увеличение потока j ij < c ij , то вершину х j пометить +i . Это означает, что приращение потока Dj si пойдет по направлению дуги (х i , х j) от вершины х s .

Если насыщена дуга (х s , х i), т.е. j si =c si , то метку +s нельзя ставить у вершины х i . Следовательно, если вершина x i не помечена, то у вершины x j нельзя ставить метку +i.

Если по дуге (х t , х j) возможно увеличение потока, т.е. j tj < c tj , то вершину х j следует пометить +t , что указывает на источник увеличения потока.

Если вершина х j не имеет пометки +i , то для увеличения потока в фрагменте сети, следует уменьшить поток в дуге (х i , х j) и направить его далее по другим дугам фрагмента на сток. Для указания этого у вершины x i ставят метку – j. Это означает что при общем приращении потока на участке (х i , х j) он должен быть уменьшен на величину Dj tj .

Если насыщена дуга (х t , х j), т.е. j tj =c tj , то метку +t нельзя ставить у вершины х j . Следовательно, если вершина x j не помечена, то у вершины x i нельзя ставить метку -j.

Если насыщены обе дуги (х s , х i) и (х t , х j), что означает невозможность приращения потока Dj si и Dj tj , то нельзя ставить метки у вершин x i и x j и продолжения разметки следующих вершин сети до вершины-стока.

Так достигают максимального значения потока от вершин-истоков х s и х t по дугам к вершинам - стокам х i и х j .

Алгоритм Форда-Фалкерсона:

шаг 1 : присвоить всем вершинам графа индексы 0,1,2,...k; где 0-индекс вершины-истока графа, k -индекс вершины-стока графа;

шаг 2 : присвоить начальной вершине метку “0”;

шаг 3 : все непомеченные вершины х i , в которые идут ненасыщенные дуги из помеченной вершины х s , пометить индексом “+s”, что свидетельствует о возможности увеличения потока из вершины х s по дуге (х s , х i);

шаг 4 : все непомеченные вершины х i , из которых идут дуги (насыщенные или ненасыщенные) в помеченную вершину х j , пометить индексом “-j”, что свидетельствует о возможности уменьшения потока в вершину х j по дуге (х i , х j);

шаг 5 : если в результате этих операций окажется помеченной вершина-сток x k , то между начальной и конечной вершинами сети найдется маршрут, все вершины которого различны и с точностью до знака помечены индексами предыдущих вершин, формирующих переход, по которому можно увеличить поток, и перейти к шагу 6, иначе конец.

шаг 6 : увеличить поток в маршруте, сформированном на шаге 5, на единицу и перейти к шагу 3.

Признаком окончания работы алгоритма является невозможность пометки вершины-стока.

Пример : На рис. 3.31 дан граф. Найти величину максимального потока и его распределение в сети.

На каждой дуге (х i , х j) указаны величина потока и пропускная способность - (j ij , c ij).

Все расчеты сведены в две таблицы таблица а)

таблица b)

В таблице а) на каждом шаге итерации для каждой вершины графа указаны возможные метки, а в таблице b) даны приращения потока по дугам (х i , х j). Полужирным шрифтом выделены насыщенные дуги графа

В результате выполнения первого шага итерации возможны переходы: n 0k ={(х k , х 1 , х 0); (х k , х 2 , х 0); (х k , х 2 , х 3 , х 0); (х k , х 2 , х 3 , х 1 , х 0);

(х k , х 3 , х 0); (х k , х 3 , х 1 , х 0)}. Пусть выбран n 0k =(х k , х 3 , х 0). Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m=((х 0 , х 3), (х 3 , х k)).

На втором шаге возможны те же переходы. Пусть выбран переход n 0k =(х k , х 3 , х 0). Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m={(х 0 , х 3), (х 3 , х k)}. При этом дуга (х 3 , х k) оказывается насыщенной, т. е. j 3k =c 3k =2.

На третьем шага возможны переходы: n 0k ={(х k , х 1 , х 0); (х k , х 2 , х 0); (х k , х 2 , х 3 , х 0); (х k , х 2 , х 3 , х 1 , х 0)}. Пусть выбран n 0k =(х k , х 2 , х 3 , х 1 , х 0). Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m=((x 0 , x 1), (x 1 , x 3), (x 3 , x 2), (x 2 , x k)). При этом оказывается насыщенной дуга (х 3 , х 2), т. е. j 32 =c 32 =1.

На четвертом шаге возможны переходы: n 0k ={(х k , х 1 , х 0); (х k , х 2 , х 0)}. Пусть выбран n ok =(х k , х 1 , х 0). Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m=((x 0 , x 1), (x 1 , x k)),. При этом оказывается насыщенной дуга (х 0 , х 1), т. е. j 01 =c 01 =2.

На пятом шаге возможны переходы: n 0k ={(х k , х 1 , -x 3 , х 0); (х k , х 2 , х 0)}. Пусть выбран n ok =(х k , х 1 , -x 3 , х 0). Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m=((x 0 , x 3), (x 3 , x 1), (x 1 , x k))),. При этом оказывается насыщенной дуга (х 0 , х 3), т. е. j 03 =c 03 =3.

На шестом шаге возможен только один переход n 0k =(х k , х 2 , х 0), так как дуги (x 0 , x 1) и (x 0 , x 3) насыщены. Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m=((x 0 , x 2), (x 2 , x k)),. При этом оказывается насыщенной дуга (х 0 , х 2), т. е. j 02 =c 02 =1.

На седьмом шаге невозможны ни один переход от x o к x k , так как дуги (x 0 , x 1), (x 0 , x 3) и (х 0 , х 2) насыщены и невозможно поставить метки у вершин x 1 , x 2 , и x 3 .

Решить задачу нахождения максимального потока в транспортной сети с помощью алгоритма Форда-Фалкерсона, и построить разрез сети S.
Исходные данные:
Дана сеть S(X,U)
- исток сети; - сток сети, где ∈X; ∈X.
Значения пропускных способностей дуг заданы по направлению ориентации дуг: от индекса i к индексу j.

r = 39; r = 44; r = 33; r = 53; r = 10;
r = 18; r = 95; r = 16; r = 23; r = 61;
r = 81; r = 71; r = 25; r = 15; r = 20

1. Зададим на сети нулевой поток (на всех дугах величина потока равна 0). Нулевой поток - это начальный допустимый поток на сети. Значение потока на каждой дуге будем указывать за скобками пропускной способности дуги.). Значение потока, равное «0», не указываем.
2. Выбираем на сети (произвольно) путь, ведущий из вершины x0 в вершину x7:
X0-X1-X4-X6-X7
3. Находим и увеличиваем поток на эту величину. Ребро Х1-Х4 помечаем как рассмотренное.


4. Выбираем еще один путь, например: Х0-Х2-Х5-Х7, находим и увеличиваем поток на эту величину. Ребро Х0-Х2 помечаем как рассмотренное.


5. Выбираем еще один путь, например: Х0-Х3-Х2-Х5-Х7, находим и увеличиваем поток на эту величину. Ребро Х3-Х2 помечаем как рассмотренное.


6. Более путей от Х0 до Х7 нет, суммируем увеличения потока: 25+10+20=55.
Вывод: максимальный поток равен 55.

2) Построить разрез сети S.
Процедура «пометок вершин».
Начальное состояние: все вершины не имеют пометок.
Вершине Х0 приписывается пометка. Всем вершинам , для которых дуга не насыщена присваиваются пометки (красные круги)


Определяем дуги минимального разреза: это дуги, начала которых находятся в помеченных вершинах, а концы - в непомеченных вершинах.
Это дуги:
Таким образом, минимальный разрез данной сети
Вычисление величины максимального потока