• Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
• Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"
• Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"
• Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"
• Раскрытие неопределённостей вида "бесконечность минус бесконечность"

Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей

Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей значительно упрощается с помощью правила Лопиталя.

Суть правила Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

Вообще, под правилами Лопиталя понимаются несколько теорем, которые могут быть переданы в следующей одной формулировке.

Правило Лопиталя . Если функции f (x ) и g (x ) дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , причём в этой окрестности

(1)

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

В равенстве (1) величина , к которой стремится переменная, может быть либо конечным числом, либо бесконечностью, либо минус бесконечностью.

К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.

Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"

Пример 1. Вычислить

x =2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя:

Пример 2. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x

Пример 3. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x =0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя:

Пример 4. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:

Замечание. Если предел отношения производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить правило Лопиталя, т.е. перейти к пределу отношения вторых производных, и т.д.

Пример 5. Вычислить

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.

Пример 6. Вычислить

Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя . Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.

Правило Лопиталя: история и определение

На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли . Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли , а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.

Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.

Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места.

Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:

Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.

Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:

Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0 . Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей:

Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки.

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием:

Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0 :

Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0 :

Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций:

Теперь перейдем к примерам.

Пример 1

Найти предел по правилу Лопиталя:

Пример 2

Вычислить с использованием правила Лопиталя:

Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а , то правило Лопиталя можно применять несколько раз.

Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз:

Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам . Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции . Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс вычисления предела.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Введите выражение функции

Вычислить предел

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Предел функции при х->х 0

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \)

Возьмем из X последовательность точек, отличных от х 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение . Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х 0 (или при х -> x 0), если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x 0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.

$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$

Функция f(x) может иметь в точке x 0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
{f(x n)} имеет только один предел.

Существует другое определение предела функции.

Определение Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x 0 , если для любого числа \(\varepsilon > 0 \) существует число \(\delta > 0 \) такое, что для всех \(x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \(|x-x_0| Используя логические символы, это определение можно записать в виде
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Отметим, что неравенства \(x \neq x_0, \; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \(\varepsilon - \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более удобно при решении той или иной задачи.

Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)» - определением предела функции по Коши.

Предел функции при x->x 0 - и при x->x 0 +

В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x 0 , если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1), элементы x n которой больше (меньше) x 0 , соответствующая последовательность (2) сходится к А.

Символически это записывается так:
$$ \lim_{x \to x_0+} f(x) = A \; \left(\lim_{x \to x_0-} f(x) = A \right) $$

Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)»:

Определение число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x 0 , если для любого \(\varepsilon > 0 \) существует \(\delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам \(x_0 Символические записи:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Правило Лопиталя (п. Л.) облегчает вычисление пределов функций. Например, надо найти предел функции, которая является отношением функций стремящихся к нулю. Т.е. отношение функций это неопределенность 0/0. Раскрыть ее поможет . В пределе отношение функций можно заменить отношением производных этих функций. Т.е. надо производную числителя разделить на производную знаменателя и от этой дроби взять предел.

1. Неопределенность 0/0. Первое п.Л.

Если = 0, то , если последний существует.

2. Неопределенность вида ∞/∞ Второе п. Л.

Нахождение пределов такого типа называется раскрытием неопределенностей.

Если = ∞, то , если последний существует.

3. Неопределенности 0⋅∞, ∞- ∞, 1 ∞ и 0 0 сводятся к неопределенностям 0/0 и ∞/∞ путем преобразований. Такая запись служит для краткого указания случая при отыскании предела. Каждая неопределенность раскрывается по своему. Правило Лопиталя можно применять несколько раз, пока не избавимся от неопределенности. Применение правила Лопиталя приносит пользу тогда, когда отношение производных удается преобразовать к более удобному виду легче, чем отношение функций.

• 0⋅∞ произведение двух функций, первая стремится к нулю, вторая к бесконечности;
• ∞- ∞ разность функций, стремящихся к бесконечности;
• 1 ∞ степень, ее основание стремится к единице, а показатель к бесконечности;
• ∞ 0 степень, ее основание стремится к бесконечности, а степень к нулю;
• 0 0 степень, ее основание стремится к 0 и показатель тоже стремятся к нулю.

Пример 1. В этом примере неопределенность 0/0

Пример 2. Здесь ∞/∞

В этих примерах производные числителя делим на производные знаменателя и подставляем предельное значение вместо х.

Пример 3. Вид неопределенности 0⋅∞ .

Неопределенность 0⋅∞ преобразуем к ∞/∞, для этого х переносим в знаменатель в виде дроби 1/x , в числителе пишем производную от числителя, а в знаменателе производную от знаменателя.

Пример 4 Вычислить предел функции

Здесь неопределенность вида ∞ 0 Сначала логарифмируем функцию, затем найдем от нее предел

Для получения ответа надо е возвести в степень -1, получим e -1 .

Пример 5. Вычислить предел от если x → 0

Решение. Вид неопределенности ∞ -∞ Приведя дробь к общему знаменателю перейдем от ∞-∞ к 0/0. Применим правило Лопиталя, однако снова получим неопределенность 0/0, поэтому п. Л. надо применить второй раз. Решение имеет вид:

= = = =
= =

Пример 6 Решить

Решение. Вид неопределенности ∞/∞, раскрыв ее получим

В случаях 3), 4), 5) сначала логарифмируют функцию и находят предел логарифма, а затем искомый предел е возводим в полученную степень.

Пример 7. Вычислить предел

Решение. Здесь вид неопределенности 1 ∞ . Обозначим A =

Тогда lnA = = = = 2.

Основание логарифма е, поэтому для получения ответа надо е возвести в квадрат, получим e 2 .

Иногда бывают случаи, когда отношение функций имеет предел, в отличие от отношения производных, которое не имеет его.

Рассмотрим пример:

Т.к. sinx ограничен, а х неограниченно растет, второй член равен 0.

Эта функция не имеет предела, т.к. она постоянно колеблется между 0 и 2, к этому примеру неприменимо п. Л.

Инструкция

Непосредственное вычисление пределов связано, в первую очередь, с пределами рациональных Qm(x)/Rn(x), где Q и R многочлены. Если вычисляется предел при х →a (a – число), то может возникнуть неопределенность, например . Для ее устранения поделите числитель и знаменатель на (х-а). Операцию повторяйте до тех пор, пока неопределенность не пропадет. Деление многочленов осуществляется практически так же, как и деление чисел. Оно основано на том, что деление и умножение – обратные операции. Пример приведен на рис. 1.

Применение первого замечательного предела. Формула для первого замечательного предела приведена на рис. 2а. Для его применения приведите выражение вашего примера к соответствующему виду. Это всегда можно сделать чисто алгебраически или заменой переменной. Главное - не забывайте, что если синус от kx, то и знаменатель тоже kx. Пример рассмотрен на рис. 2e.Кроме того, если учесть, что tgx=sinx/cosx, cos0=1, то, как следствие, появляется (см. рис. 2b). arcsin(sinx)=x и arctg(tgx)=x. Поэтому имеются еще два следствия (рис 2с. и 2d). Возник еще достаточно широкий набор способов .

Применение второго замечательно предела (см. рис. 3а)Пределы такого типа используются для устранения типа . Для решения соответствующих задач просто преобразуйте условие до структуры, соответствующей виду предела. Помните, что при возведении в степень выражения, уже находящегося в какой-либо степени, их перемножаются. Соответствующий приведен на рис. 2е.Примените подстановку α=1/х и получите следствие из второго замечательного предела (рис. 2b). Прологарифмировав по основанию а обе части этого следствия, придете ко второму следствию, в и при а=е (см. рис. 2с). Сделаете замену а^x-1=y. Тогда x=log(a)(1+y). При стремлении х к нулю, у также стремится к нулю. Поэтому возникает и третье следствие (см. рис. 2d).

Применение эквивалентных бесконечно малых.Бесконечно малые функции эквивалентны при х →а, если предел их отношения α(х)/γ(х) равен единице. При вычислении пределов с помощью таких бесконечно малых просто запишите γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) – это бесконечно малая более высокого порядка малости, чем α(x). Для нее lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Для выяснения эквивалентности используйте те же замечательные пределы . Метод позволяет существенно упростить процесс , сделав его более прозрачным.

Источники:

• Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. - 3-е изд., стер. - М.: Высш. школа, 1996. - 496 с.: ил.

Функция является одним из фундаментальных математических понятий. Ее предел – это такое значение, при котором аргумент стремится к определ енной величине. Вычислить его можно, используя некоторые приемы, например, правило Бернулли-Лопиталя.

Инструкция

Чтобы вычислить предел в заданной точке x0, следует подставить это значение аргумента в выражение функции, стоящее под знаком lim. Вовсе не обязательно, чтобы эта принадлежала области определ ения функции. Если предел определ ен и равен однозначному числу, то говорят, что функция сходится. Если же он не может быть определ ен, или бесконечен в конкретной точке, то расхождение.

Решение.Подставьте в выражение значение х = -2:lim (х² – 6 х - 14)/(2 х² + 3 х - 6) = -1/2.

Не всегда решение является настолько очевидным и простым, особенно если выражение слишком громоздкое. В этом случае сначала следует упростить его сокращения, группировки или замены переменной:lim_(х→-8) (10 х - 1)/(2 х + ∛x) = [у= ∛x] = lim_(у→-2) (10 у³ - 1)/(2 у³ + у) = 9/2.

Часто ситуации невозможности определ ения предел а, особенно если аргумент стремится к бесконечности или нулю. Подстановка не приносит ожидаемого результата, приводя к неопредел енности вида или [∞/∞]. Тогда применимо Лопиталя-Бернулли, которое предполагает нахождение первой производной. Например, вычислите предел lim (х² – 5 х -14)/(2 х²+ х - 6) при х→-2.

Решение.lim (х² – 5 х -14)/(2 х² + х - 6) = .

Найдите производную:lim (2 х - 5)/(4 х + 1) = 9/7.

lim (sinx/x) = 1 при x → 0, верно и обратное: lim (x/sinx) = 1; x → 0.Аргумент может быть любой конструкцией, главное, чтобы ее значение стремилось к нулю:lim (x³ – 5 x² + x)/sin(x³ – 5 x² + x) = 1; x → 0.

Видео по теме

Теория пределов – довольно обширная область математического анализа. Это понятие применимо к функции и представляет собой конструкцию из трех элементов: обозначение lim, выражение под знаком предела и предельное значение аргумента.

Инструкция

Чтобы вычислить предел, необходимо , чему равна функция в точке, соответствующей предельному значению аргумента. В некоторых случаях не имеет конечного решения, а подстановка значения, к которому стремится переменная, дает вида «ноль на ноль» или «бесконечность на бесконечность». В этом случае применимо , выведенное Бернулли и Лопиталем, которое подразумевает взятие первой производной.

Как и любое математическое , предел может содержать под своим знаком выражение функции, слишком громоздкое или неудобное для простой подстановки. Тогда необходимо прежде упростить его, пользуясь обычными методами, группировка, вынесение общего множителя и замена переменной, при которой меняется и предельное значение аргумента.

Вам повезло, выражение функции имеет смысл при данном предельном значении аргумента. Это простейший случай вычисления предела. Теперь решите следующую задачу, в которой фигурирует неоднозначное понятие бесконечности:lim_(x→∞) (5 - x).

Правило Бернулли-Лопиталя:lim_(x→-2) (x^5 – 4 x³)/(x³ + 2 х²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) = .Продифференцируйте выражение функции:lim (5 x^4 – 12 x²)/(3 x² + 4 x) = (5 16 – 12 4)/(3 4 - 8) = 8.

Замена переменной:lim_(x→125) (x + 2 ∛x)/(x + 5) = = lim_(y→5) (y³ + 2 y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/(125 + 5) = 27/26.

Греческой буквой π (пи, pi) принято обозначать отношение длины окружности к ее диаметру. Это число , первоначально появившись в трудах древних геометров, впоследствии оказалось очень важным в очень многих отраслях математики. А значит, его нужно уметь вычислять.

Инструкция

π - иррациональное число . Это , что его невозможно представить в виде дроби с целым и знаменателем. Более того, π - трансцендентное число , то есть оно не может служить никакого алгебраического уравнения. Таким образом, точное значение числа π записать невозможно. Однако есть методы, позволяющие вычислить его с любой требующейся степенью точности.

Древнейшие , которыми пользовались геометры Греции и Египта, говорят, что π примерно равно квадратному корню из 10 или дроби 256/81. Но эти формулы дают значение π, равное 3,16, а этого явно недостаточно.

С развитием дифференциального исчисления и других новых математических дисциплин в распоряжении ученых появился новый инструмент - степенные ряды. Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1674 году обнаружил, что ряд
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
в пределе сходится , равной π/4. Вычислять эту сумму просто, однако, чтобы достичь достаточной точности, понадобится много шагов, поскольку ряд сходится очень медленно.

Впоследствии были обнаружены и другие степенные ряды, позволяющие вычислять π быстрее, чем при помощи ряда Лейбница. Например, известно, что tg(π/6) = 1/√3, следовательно, arctg(1/√3) = π/6.
Функция арктангенса раскладывается в степенной ряд, и для заданного значения мы в результате получаем:
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
При помощи этой и других аналогичных формул число π было вычислено уже с точностью до миллионов знаков после запятой.

Обратите внимание

Существует много способов вычисления числа Пи. Самым простым и понятным является численный метод Монте-Карло, суть которого сводится к простейшему перебору точек на площади. double y=radius*radius-x*x; return y; } Программа выводит значения числа Пи в зависимости от радиуса и количества точек. Единственное, что остается читателю, это скомпилировать её самостоятельно и запустить с параметрами, которые желает он.

Полезный совет

Но неутомимые ученые продолжали и продолжали вычислять десятичные знаки числа пи, что является на самом деле дико нетривиальной задачей, потому что просто так в столбик его не вычислить: число это не только иррациональное, но и трансцендентное (это вот как раз такие числа, которые не вычисляются путем простых уравнений). Ученые Токийского университета сумели поставить мировой рекорд в вычислениях числа Пи до 12411-триллионного знака.

Источники:

• История числа Пи

Математические методы применяются во многих областях науки. Это утверждение касается, в частности, дифференциального исчисления. Например, если вычислить вторую производную функции расстояния от переменной времени, то можно найти ускорение материальной точки.

Инструкция

Правила и методы дифференцирования сохраняются для производных высших порядков. Это касается некоторых элементарных функций, операций сложения, и деления, а также сложных функций вида u(g(х)): u’ = С’ = 0 – производная константы; u’ = х’ = 1 – простейшая одного аргумента; u’ = (х^а)’ = а х^(а-1); u’ = (а^х)’ = а^х ln а – показательная функция;

Арифметические операции пары функций u(х) и g(х): (u + g)’ = u’ + g’; (u g)’ = u’ g + g’ u; (u/g)’ = (u’ g – g’ u)/g².

Довольно трудно вторую производную сложной функции. Для этого методы численного дифференцирования, хотя результат получается приближенным, присутствует так называемая погрешность аппроксимации α:u’’(х) = (u(х + h) – 2 u(х) + u(х - h))/h² + α(h²) – интерполяционный многочлен Ньютона;u’’(х) = (-u(х + 2 h) + 16 u(х + h) – 30 u(х) + 16 u(х - h) – u(х – 2 h))/(12 h²) + α(h²) – Стрилинга.

В этих формулах присутствует некая величин h. Она называется аппроксимации, выбор которого должен быть оптимальным, чтобы минимизировать погрешность вычисления. Подбор правильного значения h называется регуляцией по шагу:|u(х + h) – u(х)| > ε, где ε бесконечно мало.

Метод вычисления второй производной применяется при полного дифференциала второго порядка. При этом она частным образом рассчитывается для каждого аргумента и участвует в конечном выражении в виде множителя соответствующего дифференциала dх, dy и т.д.:d² u = ∂u’/∂х d²х + ∂u’/∂y d²у + ∂u’/∂z d²z.

Пример: найдите вторую производную функции u = 2 х sin х – 7 х³ + х^5/tg х.

Решениеu’ = 2 sin x + 2 х соs х – 21 х² + 5 х^4/tg х – х²/sin² х;u’’ = 4 соs х – 2 х sin х – 42 х + 20 х³/tg х – 5 х^4/sin² х – 2 х/sin² х + 2 х² соs х/sin³ х.

Методы дифференциального исчисления используются при исследовании характера поведения функции в математическом анализе. Однако это не единственная сфера их применения, часто требуется найти производную , чтобы рассчитать предельные величины в экономике, вычислить скорость или ускорение в физике.