Разложить функцию в ряд фурье примеры. Ряды фурье в примерах и задачах

Ряды Фурье - это представление произвольно взятой функции с конкретным периодом в виде ряда. В общем виде данное решение называют разложением элемента по ортогональному базису. Разложение функций в ряд Фурье является довольно мощным инструментарием при решении разнообразных задач благодаря свойствам данного преобразования при интегрировании, дифференцировании, а также сдвиге выражения по аргументу и свертке.

Человек, не знакомый с высшей математикой, а также с трудами французского ученого Фурье, скорее всего, не поймет, что это за «ряды» и для чего они нужны. А между тем данное преобразование довольно плотно вошло в нашу жизнь. Им пользуются не только математики, но и физики, химики, медики, астрономы, сейсмологи, океанографы и многие другие. Давайте и мы поближе познакомимся с трудами великого французского ученого, сделавшего открытие, опередившее свое время.

Человек и преобразование Фурье

Ряды Фурье являются одним из методов (наряду с анализом и другими) Данный процесс происходит каждый раз, когда человек слышит какой-либо звук. Наше ухо в автоматическом режиме производит преобразование элементарных частиц в упругой среде раскладываются в ряды (по спектру) последовательных значений уровня громкости для тонов разной высоты. Далее мозг превращает эти данные в привычные для нас звуки. Все это происходит помимо нашего желания или сознания, само по себе, а вот для того чтобы понять эти процессы, понадобится несколько лет изучать высшую математику.

Подробнее о преобразовании Фурье

Преобразование Фурье можно проводить аналитическими, числительными и другими методами. Ряды Фурье относятся к числительному способу разложения любых колебательных процессов - от океанских приливов и световых волн до циклов солнечной (и других астрономических объектов) активности. Используя эти математические приемы, можно разбирать функции, представляя любые колебательные процессы в качестве ряда синусоидальных составляющих, которые переходят от минимума к максимуму и обратно. Преобразование Фурье является функцией, описывающей фазу и амплитуду синусоид, соответствующих определенной частоте. Данный процесс можно использовать для решения весьма сложных уравнений, которые описывают динамические процессы, возникающие под действием тепловой, световой или электрической энергии. Также ряды Фурье позволяют выделять постоянные составляющие в сложных колебательных сигналах, благодаря чему стало возможным правильно интерпретировать полученные экспериментальные наблюдения в медицине, химии и астрономии.

Историческая справка

Отцом-основателем этой теории является французский математик Жан Батист Жозеф Фурье. Его именем впоследствии и было названо данное преобразование. Изначально ученый применил свой метод для изучения и объяснения механизмов теплопроводности - распространения тепла в твердых телах. Фурье предположил, что изначальное нерегулярное распределение можно разложить на простейшие синусоиды, каждая из которых будет иметь свой температурный минимум и максимум, а также свою фазу. При этом каждая такая компонента будет измеряться от минимума к максимуму и обратно. Математическая функция, которая описывает верхние и нижние пики кривой, а также фазу каждой из гармоник, назвали преобразованием Фурье от выражения распределения температуры. Автор теории свел общую функцию распределения, которая трудно поддается математическому описанию, к весьма удобному в обращении ряду косинуса и синуса, в сумме дающих исходное распределение.

Принцип преобразования и взгляды современников

Современники ученого - ведущие математики начала девятнадцатого века - не приняли данную теорию. Основным возражением послужило утверждение Фурье о том, что разрывную функцию, описывающую прямую линию или разрывающуюся кривую, можно представить в виде суммы синусоидальных выражений, которые являются непрерывными. В качестве примера можно рассмотреть «ступеньку» Хевисайда: ее значение равно нулю слева от разрыва и единице справа. Данная функция описывает зависимость электрического тока от временной переменной при замыкании цепи. Современники теории на тот момент никогда не сталкивались с подобной ситуацией, когда разрывное выражение описывалось бы комбинацией непрерывных, обычных функций, таких как экспонента, синусоида, линейная или квадратичная.

Что смущало французских математиков в теории Фурье?

Ведь если математик был в прав в своих утверждениях, то, суммируя бесконечный тригонометрический ряд Фурье, можно получить точное представление ступенчатого выражения даже в том случае, если оно имеет множество подобных ступеней. В начале девятнадцатого века подобное утверждение казалось абсурдным. Но несмотря на все сомнения, многие математики расширили сферу изучения данного феномена, выведя его за пределы исследований теплопроводности. Однако большинство ученых продолжали мучиться вопросом: "Может ли сумма синусоидального ряда сходиться к точному значению разрывной функции?"

Сходимость рядов Фурье: пример

Вопрос о сходимости поднимается всякий раз при необходимости суммирования бесконечных рядов чисел. Для понимания данного феномена рассмотрим классический пример. Сможете ли вы когда-либо достигнуть стены, если каждый последующий шаг будет вдвое меньше предыдущего? Предположим, что вы находитесь в двух метрах от цели, первый же шаг приближает к отметке на половине пути, следующий - к отметке в три четверти, а после пятого вы преодолеете почти 97 процентов пути. Однако сколько бы вы шагов ни сделали, намеченной цели вы не достигните в строгом математическом смысле. Используя числовые расчеты, можно доказать, что в конце концов можно приблизиться на сколь угодно малое заданное расстояние. Данное доказательство является эквивалентным демонстрации того, что суммарное значение одной второй, одной четвертой и т. д. будет стремиться к единице.

Вопрос сходимости: второе пришествие, или Прибор лорда Кельвина

Повторно данный вопрос поднялся в конце девятнадцатого века, когда ряды Фурье попробовали применить для предсказания интенсивности отливов и приливов. В это время лордом Кельвином был изобретен прибор, представляющий собой аналоговое вычислительное устройство, которое позволяло морякам военного и торгового флота отслеживать это природное явление. Данный механизм определял наборы фаз и амплитуд по таблице высоты приливов и соответствующих им временных моментов, тщательно замеренных в данной гавани в течение года. Каждый параметр представлял собой синусоидальную компоненту выражения высоты прилива и являлся одной из регулярных составляющих. Результаты измерений вводились в вычислительный прибор лорда Кельвина, синтезирующий кривую, которая предсказывала высоту воды как временную функцию на следующий год. Очень скоро подобные кривые были составлены для всех гаваней мира.

А если процесс будет нарушен разрывной функцией?

В то время представлялось очевидным, что прибор, предсказывающий приливную волну, с большим количеством элементов счета может вычислить большое количество фаз и амплитуд и так обеспечить более точные предсказания. Тем не менее оказалось, что данная закономерность не соблюдается в тех случаях, когда приливное выражение, которое следует синтезировать, содержало резкий скачок, то есть являлось разрывным. В том случае, если в устройство вводятся данные из таблицы временных моментов, то оно производит вычисления нескольких коэффициентов Фурье. Исходная функция восстанавливается благодаря синусоидальным компонентам (в соответствии с найденными коэффициентами). Расхождение между исходным и восстановленным выражением можно измерять в любой точке. При проведении повторных вычислений и сравнений видно, что значение наибольшей ошибки не уменьшается. Однако они локализируются в области, соответствующей точке разрыва, а в любой иной точке стремятся к нулю. В 1899 году этот результат был теоретически подтвержден Джошуа Уиллардом Гиббсом из Йельского университета.

Сходимость рядов Фурье и развитие математики в целом

Анализ Фурье неприменим к выражениям, содержащим бесконечное количество всплесков на определенном интервале. В общем и целом ряды Фурье, если изначальная функция представлена результатом реального физического измерения, всегда сходятся. Вопросы сходимости данного процесса для конкретных классов функций привели к появлению новых разделов в математике, например теории обобщенных функций. Она связана с такими именами, как Л. Шварц, Дж. Микусинский и Дж. Темпл. В рамках данной теории была создана четкая и точная теоретическая основа под такие выражения, как дельта-функция Дирака (она описывает область единой площади, сконцентрированной в бесконечно малой окрестности точки) и «ступень» Хевисайда. Благодаря этой работе ряды Фурье стали применимы для решения уравнений и задач, в которых фигурируют интуитивные понятия: точечный заряд, точечная масса, магнитные диполи, а также сосредоточенная нагрузка на балке.

Метод Фурье

Ряды Фурье, в соответствии с принципами интерференции, начинаются с разложения сложных форм на более простые. Например, изменение теплового потока объясняется его прохождением сквозь различные препятствия из теплоизолирующего материала неправильной формы или изменением поверхности земли - землетрясением, изменением орбиты небесного тела - влиянием планет. Как правило, подобные уравнения, описывающие простые классические системы, элементарно решаются для каждой отдельной волны. Фурье показал, что простые решения также можно суммировать для получения решения более сложных задач. Выражаясь языком математики, ряды Фурье - это методика представления выражения суммой гармоник - косинусоид и синусоид. Поэтому данный анализ известен также под именем «гармонический анализ».

Ряд Фурье - идеальная методика до «компьютерной эпохи»

До создания компьютерной техники методика Фурье являлась лучшим оружием в арсенале ученых при работе с волновой природой нашего мира. Ряд Фурье в комплексной форме позволяет решать не только простые задачи, которые поддаются прямому применению законов механики Ньютона, но и фундаментальные уравнения. Большинство открытий ньютоновской науки девятнадцатого века стали возможны только благодаря методике Фурье.

Ряды Фурье сегодня

С развитием компьютеров преобразования Фурье поднялись на качественно новый уровень. Данная методика прочно закрепилась практически во всех сферах науки и техники. В качестве примера можно привести цифровой аудио- и видеосигнал. Его реализация стала возможной только благодаря теории, разработанной французским математиком в начале девятнадцатого века. Так, ряд Фурье в комплексной форме позволил совершить прорыв в изучении космического пространства. Кроме того, это повлияло на изучение физики полупроводниковых материалов и плазмы, микроволновой акустики, океанографии, радиолокации, сейсмологии.

Тригонометрический ряд Фурье

В математике ряд Фурье является способом представления произвольных сложных функций суммой более простых. В общих случаях количество таких выражений может быть бесконечным. При этом чем больше их число учитывается при расчете, тем точнее получается конечный результат. Чаще всего в качестве простейших используют тригонометрические функции косинуса или синуса. В таком случае ряды Фурье называют тригонометрическими, а решение таких выражений - разложением гармоники. Этот метод играет важную роль в математике. Прежде всего, тригонометрический ряд дает средства для изображения, а также изучения функций, он является основным аппаратом теории. Кроме того, он позволяет решать ряд задач математической физики. Наконец, данная теория способствовала развитию вызвала к жизни целый ряд весьма важных разделов математической науки (теорию интегралов, теорию периодических функций). Кроме того, послужила отправным пунктом для развития следующих функций действительного переменного, а также положила начало гармоническому анализу.

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

Функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

где a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - действительные константы, т.е.

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты a o ,a n и b n называются коэффициентами Фурье , и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда - использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Где a o - константа, с 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2 , с n =(a n 2 +b n 2) 1/2 - амплитуды различных компонент, а равен a n =arctg a n /b n .

Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin(x+α 1) называется первой или основной гармоникой, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π. Разложение непериодических функций в ряд Фурье.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная , если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n

Если требуется получить функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

Где коэффициенты ряда Фурье,

Однако чаще приведенную выше формулу приводят к зависимости от х. Поскольку u=2πх/L, значит, du=(2π/L)dx, а пределы интегрирования - от -L/2 до L/2 вместо - π до π. Следовательно, ряд Фурье для зависимости от х имеет вид

где в диапазоне от -L/2 до L/2 коэффициенты ряда Фурье,

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде .

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

Многие процессы, происходящие в природе и технике, обладают свойством повторяться через определенные промежутки времени. Такие процессы называются периодическими и математически описываются периодическими функциями. К таким функциям относятся sin (x ) , cos (x ) , sin (wx ), cos (wx ) . Сумма двух периодических функций, например, функция вида , вообще говоря, уже не является периодической. Но можно доказать, что если отношение w 1 / w 2 – число рациональное, то эта сумма есть периодическая функция.

Простейшие периодические процессы – гармонические колебания – описываются периодическими функциями sin (wx ) и cos (wx ). Более сложные периодические процессы описываются функциями, составными либо из конечного, либо из бесконечного числа слагаемых вида sin (wx ) и cos (wx ).

3.2. Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье

Рассмотрим функциональный ряд вида:

Этот ряд называется тригонометрическим ; числа а 0 , b 0 , a 1 , b 1 ,а 2 , b 2 …, a n , b n ,… называются коэффициентами тригонометрического ряда. Ряд (1) часто записывается следующим образом:

. (2)

Так как члены тригонометрического ряда (2) имеют общий период
, то и сумма ряда, если он сходится, также является периодической функцией с периодом
.

Допустим, что функция f (x ) есть сумма этого ряда:

. (3)

В таком случае говорят, что функция f (x ) раскладывается в тригонометрический ряд. Предполагая, что этот ряд сходится равномерно на промежутке
, можно определить его коэффициенты по формулам:

,
,
. (4)

Коэффициенты ряда, определенные по этим формулам, называются коэффициентами Фурье.

Тригонометрический ряд (2), коэффициенты которого определяются по формулам Фурье (4), называются рядом Фурье , соответствующим функции f (x ).

Таким образом, если периодическая функция f (x ) является суммой сходящегося тригонометрического ряда, то этот ряд является ее рядом Фурье.

3.3. Сходимость ряда Фурье

Формулы (4) показывают, что коэффициенты Фурье могут быть вычислены для любой интегрируемой на промежутке

-периодической функции, т.е. для такой функции всегда можно составить ряд Фурье. Но будет ли этот ряд сходиться к функцииf (x ) и при каких условиях?

Напомним, что функция f (x ), определенная на отрезке [ a ; b ] , называется кусочно-гладкой, если она и ее производная имеют не более конечного числа точек разрыва первого рода.

Следующая теорема дает достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье.

Теорема Дирихле. Пусть
-периодическая функцияf (x ) является кусочно-гладкой на
. Тогда ее ряд Фурье сходится кf (x ) в каждой ее точке непрерывности и к значению 0,5(f (x +0)+ f (x -0)) в точке разрыва.

Пример1.

Разложить в ряд Фурье функцию f (x )= x , заданную на интервале
.

Решение. Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Применяя формулы (4) и метод интегрирования по частям
, найдем коэффициенты Фурье:

Таким образом, ряд Фурье для функции f (x ) имеет вид.

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

где a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - действительные константы, т.е.

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Другой способ записи ряда - использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Где a o - константа, с 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2 , с n =(a n 2 +b n 2) 1/2 - амплитуды различных компонент, а равен a n =arctg a n /b n .

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций.

Четные и нечетные функции.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

где коэффициенты ряда Фурье,

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид