Вычислить предел онлайн. Решение пределов через раскрытие неопределённостей
Функцией y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .
Элемент x ∈
X
называют аргументом функции
или независимой переменной
.
Элемент y ∈
Y
называют значением функции
или зависимой переменной
.
Множество X
называется областью определения функции
.
Множество элементов y ∈
Y
,
которые имеют прообразы в множестве X
,
называется областью или множеством значений функции
.
Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу)
, если существует такое число M
,
что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной
, если существует такое число M
,
что для всех :
.
Верхней гранью
или точной верхней границей
действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого превосходит s′
:
.
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.
Соответственно нижней гранью
или точной нижней границей
действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого меньше чем i′
:
.
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
Определение предела функции
Определение предела функции по Коши
Конечные пределы функции в конечных точках
Пусть функция определена в некоторой окрестности конечной точки за исключением, может быть, самой точки .
в точке ,
если для любого существует такое ,
зависящее от ,
что для всех x
,
для которых ,
выполняется неравенство
.
Предел функции обозначается так:
.
Или при .
С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.
Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
;
.
Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках
Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.
Их часто обозначают так:
;
;
.
Использование понятия окрестности точки
Если ввести понятие проколотой окрестности точки ,
то можно дать единое определение конечного предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
;
;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
;
;
.
Бесконечные пределы функции
Определение
Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Предел функции f(x)
при x → x 0
равен бесконечности
, если для любого, сколь угодно большого числа M > 0
,
существует такое число δ M > 0
,
зависящее от M
,
что для всех x
,
принадлежащих проколотой δ M
- окрестности точки :
,
выполняется неравенство:
.
Бесконечный предел обозначают так:
.
Или при .
С помощью логических символов существования и всеобщности определение бесконечного предела функции можно записать так:
.
Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.
Универсальное определение предела функции
Используя понятие окрестности точки, можно дать универсальное определение конечного и бесконечно предела функции, применимое как для конечных (двусторонних и односторонних), так и для бесконечно удаленных точек:
.
Определение предела функции по Гейне
Пусть функция определена на некотором множестве X
:
.
Число a
называется пределом функции
в точке :
,
если для любой последовательности ,
сходящейся к x 0
:
,
элементы которой принадлежат множеству X
:
,
.
Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.
Если в качестве множества X взять левостороннюю окрестность точки x 0 , то получим определение левого предела. Если правостороннюю - то получим определение правого предела. Если в качестве множества X взять окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела функции на бесконечности.
Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство
Свойства и теоремы предела функции
Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.
Основные свойства
Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , ... x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .
Если существует конечный предел ,
то существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
на которой функция f(x)
ограничена:
.
Пусть функция имеет в точке x 0
конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c
из интервала ,
существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для ,
,
если ;
,
если .
Если, на некоторой проколотой окрестности точки , - постоянная, то .
Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .
Если ,
и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если ,
то и ;
если ,
то и .
Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0
:
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
,
то
.
Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства пределов функции ».
Арифметические свойства предела функции
Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки .
И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C
- постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
,
если .
Если , то .
Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства пределов функции ».
Критерий Коши существования предела функции
Теорема
Для того, чтобы функция ,
определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x 0
,
имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0
существовала такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.
Предел сложной функции
Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки .
Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: .
Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.
Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного .
Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки ,
на которой множество значений функции не содержит точку :
.
Если функция непрерывна в точке ,
то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.
Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции g(t)
при t → t 0
,
и он равен x 0
:
.
Здесь точка t 0
может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(x)
непрерывна в точке x 0
.
Тогда существует предел сложной функции f(g(t))
,
и он равен f(x 0)
:
.
Доказательства теорем приведены на странице
«Предел и непрерывность сложной функции ».
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции
Определение
Функция называется бесконечно малой при ,
если
.
Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .
Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .
Для того, чтобы функция имела конечный предел ,
необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при .
«Свойства бесконечно малых функций ».
Бесконечно большие функции
Определение
Функция называется бесконечно большой при ,
если
.
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .
Если функция является бесконечно большой при ,
а функция - ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки ,
то
.
Если функция ,
на некоторой проколотой окрестности точки ,
удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
,
и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.
Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно больших функций ».
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
,
.
Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при ,
то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки ,
то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при ,
то пишут:
.
Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
,
,
,
.
Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».
Пределы монотонных функций
Определение
Функция ,
определенная на некотором множестве действительных чисел X
называется строго возрастающей
, если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей
функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей
:
.
Для невозрастающей
:
.
Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.
Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.
Теорема
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Если она ограничена сверху числом M
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена снизу, то .
Если точки a
и b
являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы в точках a
и b
:
;
.
Аналогичная теорема для невозрастающей функции.
Пусть функция не возрастает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы:
;
.
Доказательство теоремы изложено на странице
«Пределы монотонных функций ».
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.
Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:
1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.
Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.
Итак, что же такое предел?
А сразу пример, чего бабушку лохматить….
Любой предел состоит из трех частей :
1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно ,
хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В
практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно
любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».
Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится
к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое
. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….
То есть выражение «икс стремится
к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают
.
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию .
Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!
Пример с бесконечностью:
Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.
А что в это время происходит с функцией ?
, , , …
Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности :
Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ .
Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
Вывод: при функция неограниченно возрастает
:
И еще серия примеров:
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:
, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .
Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.
Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом .
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Пример:
Вычислить предел
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени .
Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.
Что принципиально важно в оформлении решения?
Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.
Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.
В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:
Для пометок лучше использовать простой карандаш.
Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?
Пример 2
Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее
значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Пример 3
Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число , ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу .
Пример 4
Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так называемая неопределенность .
Общее правило : если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители .
Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики . Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.
Итак, решаем наш предел
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Сначала находим дискриминант:
И квадратный корень из него: .
В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.
! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.
Далее находим корни:
Таким образом:
Всё. Числитель на множители разложен.
Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
Очевидно, что можно сократить на :
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:
Разложим числитель на множители.
Пример 5
Вычислить предел
Сначала «чистовой» вариант решения
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель:
Знаменатель:
,
Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель,
сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности
квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.
Из вышеуказанной статьи Вы сможете узнать, что же такое предел, и с чем его едят – это ОЧЕНЬ важно. Почему? Можно не понимать, что такое определители и успешно их решать, можно совершенно не понимать, что такое производная и находить их на «пятёрку». Но вот если Вы не понимаете, что такое предел, то с решением практических заданий придется туго. Также не лишним будет ознакомиться с образцами оформления решений и моими рекомендациями по оформлению. Вся информация изложена в простой и доступной форме.
А для целей данного урока нам потребуются следующие методические материалы: Замечательные пределы и Тригонометрические формулы . Их можно найти на странице . Лучше всего методички распечатать – это значительно удобнее, к тому же к ним часто придется обращаться в оффлайне.
Чем же замечательны замечательные пределы? Замечательность данных пределов состоит в том, что они доказаны величайшими умами знаменитых математиков, и благодарным потомкам не приходится мучаться страшными пределами с нагромождением тригонометрических функций, логарифмов, степеней. То есть при нахождении пределов мы будем пользоваться готовыми результатами, которые доказаны теоретически.
Замечательных пределов существует несколько, но на практике у студентов-заочников в 95% случаев фигурируют два замечательных предела: Первый замечательный предел , Второй замечательный предел . Следует отметить, что это исторически сложившиеся названия, и, когда, например, говорят о «первом замечательном пределе», то подразумевают под этим вполне определенную вещь, а не какой-то случайный, взятый с потолка предел.
Первый замечательный предел
Рассмотрим следующий предел: (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).
Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений ) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:
Данный математический факт носит название Первого замечательного предела . Аналитическое доказательство предела приводить не буду, а вот его геометрический смысл рассмотрим на уроке о бесконечно малых функциях .
Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:
– тот же самый первый замечательный предел.
Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.
На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю .
Примеры:
, , ,
Здесь , , , , и всё гуд – первый замечательный предел применим.
А вот следующая запись – ересь:
Почему? Потому что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке.
Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел ? Ответ можно найти в конце урока.
На практике не все так гладко, почти никогда студенту не предложат решить халявный предел и получить лёгкий зачет. Хммм… Пишу эти строки, и пришла в голову очень важная мысль – все-таки «халявные» математические определения и формулы вроде лучше помнить наизусть, это может оказать неоценимую помощь на зачете, когда вопрос будет решаться между «двойкой» и «тройкой», и преподаватель решит задать студенту какой-нибудь простой вопрос или предложить решить простейший пример («а может он (а) все-таки знает чего?!»).
Переходим к рассмотрению практических примеров:
Пример 1
Найти предел
Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.
Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):
Итак, у нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .
В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ».
А делается это очень просто:
То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания.
Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:
Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:
Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:
Кто позабыл упрощение многоэтажных дробей, пожалуйста, освежите материал в справочнике Горячие формулы школьного курса математики
.
Готово. Окончательный ответ:
Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так:
“
Используем первый замечательный предел
“
Пример 2
Найти предел
Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:
Действительно, у нас неопределенность и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. На уроке Пределы. Примеры решений мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенность , то нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Здесь – то же самое, степени мы представим в виде произведения (множителей):
Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:
Собственно, ответ готов:
В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно.
Пример 3
Найти предел
Подставляем ноль в выражение под знаком предела:
Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле (кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см. методический материал Горячие тригонометрические формулы на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы ).
В данном случае:
Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):
Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.
Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:
В итоге получена бесконечность, бывает и такое.
Пример 4
Найти предел
Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:
Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице)
Используем тригонометрическую формулу . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.
Постоянные множители вынесем за значок предела:
Организуем первый замечательный предел:
Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:
Избавимся от трехэтажности:
Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:
Пример 5
Найти предел
Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно:
Некоторые пределы можно свести к 1-му замечательному пределу путём замены переменной, об этом можно прочитать чуть позже в статье Методы решения пределов .
Второй замечательный предел
В теории математического анализа доказано, что:
Данный факт носит название второго замечательного предела .
Справка: – это иррациональное число.
В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности .
Пример 6
Найти предел
Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.
Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение , по какому принципу это делается, разобрано на уроке Пределы. Примеры решений .
Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :
Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень :
Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:
Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :
При этом сам значок предела перемещаем в показатель
:
Пример 7
Найти предел
Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.
Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:
В результате получена неопределенность . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас , значит, в числителе тоже нужно организовать .
Калькулятор пределов онлайн на сайт для полноценного закрепления студентами и школьниками пройденного материала и тренировки своих практических навыков. Как использовать калькулятор пределов онлайн на нашем ресурсе? Делается это даже очень запросто, нужно лишь всего-навсего вписать исходную функцию в имеющееся поле, выбрать из селектора необходимое предельное значение для переменной и нажать на кнопку "Решение". Если в некоторой точке нужно вычислить предельное значение, тогда Вам необходимо вписать значение этой самой точки - или числовое, или символьное. Калькулятор пределов онлайн поможет найти в заданной точке, предельной в интервале определения функции, значение предела, и эта величина, куда устремляется значение исследуемой функции при устремлении её аргумента к данной точке, есть решение предела. По онлайн калькулятору пределов на нашем ресурсе сайт можем сказать следующее - существует огромное количество аналогов в сети интернет, можно найти достойные из них, нужно с трудом этой поискать. Но тут столкнетесь с тем, что один сайт другому сайту - рознь. Многие из них совсем не предлагают калькулятор пределов онлайн, в отличие от нас. Если в любой известной поисковой системе, будь-то Яндекс или Google, вы будете искать сайты по фразе "Калькулятор пределов онлайн", то сайт окажется на первых строчках в поисковой выдаче. Это означает, что нам доверяют эти поисковики, и на нашем сайте только качественный контент, а главное полезный для учеников школ и вузов! Продолжим разговор о калькуляторах пределов и вообще о теории предельного перехода. Очень часто в определении предела функции формулируется понятие окрестностей. Здесь пределы от функций, а также решение этих пределов, Изучаются только в точках, являющихся предельными для области определения функций, ведая, что в каждой окрестности такой точки имеются точки из области определения этой функции. Это позволяет говорить о стремлении переменной функции к заданной точке. Если в некоторой точке области определения функции существует предел и калькулятор пределов онлайн выдает подробное предельное решение функции в данной точке, то функция оказывается непрерывной в этой точке. Пусть наш калькулятор пределов онлайн с решением даст какой-нибудь положительный результат, а мы проверим его на других сайтах. Этим самым можно доказать качество нашего ресурса, а оно, как известно уже многим, на высоте и заслуживает высочайшей оценки. Наряду с этим, есть возможность пределы онлайн калькулятор с подробным решением изучать и самостоятельно, но под пристальным контролем профессионального преподавателя. Зачастую такое действие приведет к ожидаемым результатам. Все студенты просто мечтают, чтобы калькулятор пределов онлайн с решением подробно расписал их сложную задачку, заданную преподавателем еще в начале семестра. Но не так все просто. Нужно сначала изучить теорию, а потом пользоваться бесплатным калькулятором. Как и пределы онлайн, калькулятор подробным образом выдаст нужные записи, и вы останетесь довольны результатом. Но предельная точка области определения может и не принадлежать этой самой области определения и это доказывается подробным вычислением калькулятором пределов онлайн. Пример: можно рассматривать предел функции на концах открытого отрезка, на котором определена наша функция. При этом сами границы отрезка в область определения и не входят. В этом смысле система окрестностей этой точки есть частный случай такой базы подмножеств. Калькулятор пределов онлайн с подробным решением производится в режиме реального времени и для него применяются формулы в заданном явном аналитическом виде. Предел функции с применением калькулятора пределов онлайн с подробным решением является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится. В общем то говоря, теория предельного перехода - это основное понятие всего математического анализа. Всё базируется именно на предельных переходах, то есть подробное решение пределов заложено в основу науки математического анализа, а калькулятор пределов онлайн закладывает базу в обучение студентов. Калькулятор пределов онлайн с подробным решением на сайте сайт - это уникальный сервис для получения точного и мгновенного ответа в режиме реального времени. Не редко, а точнее очень часто, у студентов сразу возникают сложности в решении пределов при начальном изучении математического анализа. Мы гарантируем, что решение калькулятором пределов онлайн на нашем сервисе - залог точности и получения качественного ответа.. Ответ на подробное решение предела калькулятором получите в считанные секунды, можно сказать даже мгновенно. Если вы укажете некорректные данные, то есть символы, недопустимые системой, - ничего страшного, сервис автоматически сообщит вам об ошибке. Исправите введённую ранее функцию (или предельную точку) и получите верное подробное решение калькулятором предела онлайн. Доверьтесь нам, и мы вас не подведем никогда. Вы сможете легко пользоваться сайтом и калькулятор пределов онлайн с решением подробно распишет пошаговые действия по вычислению задачи. Нужно всего лишь подождать несколько секунд и получите заветный ответ. Для решения пределов онлайн калькулятором с подробным решением применяются все возможные приёмы, особенно очень часто используется метод Лопиталя, так как он универсален и приводит к ответу быстрее, чем другие способы вычисления предела функции. Часто онлайн подробное решение калькулятором предела требуется для вычисления суммы числовой последовательности. Как известно, для нахождения суммы числовой последовательности, надо лишь верно выразить частичную сумму этой последовательности, а дальше всё просто, применяя наш бесплатный сервис сайт, так как вычисление предела с помощью нашего калькулятора пределов онлайн от частичной суммы это и будет итоговая сумма последовательности числовой. Подробное решение калькулятором пределов онлайн с помощью сервиса сайт представляет студентам видеть ход решения задач, что делает понимание теории пределов легким и доступным практически каждому. Будьте сосредоточены и не позвольте неверным действиям доставлять себе неприятности в виде неудовлетворительных оценок. Как всякое подробное решение калькулятором пределов онлайн сервисом, задача будет представлена в удобном и понятном виде, с подробным решением, с соблюдением всех норм и правил получения решения.. При этом вы сможете экономить время и деньги, так как мы не просим за это абсолютно ничего. На нашем сайте подробное решение калькуляторов пределов онлайн доступно двадцать четыре часа в сутки всегда. В сути все калькуляторы пределов онлайн с решением могут и не подробно выдавать ход поэтапного решения, об этом нужно не забывать и всем следить. Как только пределы онлайн калькулятор с подробным решением предлагает вам нажать на кнопку "Решение", то сначала будьте добры все проверьте. то есть проверьте введенную функцию, также предельное значение и только тогда продолжайте действие. Это избавит вас от мучительных переживаний за неуспешные вычисления. И затем пределы онлайн калькулятор подробным законом выдаст правильное факторное представление пошагового действия. Если же подробное решение калькулятор пределов онлайн вдруг не выдал, то может быть несколько причин этому. Во-первых, проверьте записанное функциональное выражение. Оно должно содержать переменную "x", иначе вся функция будет воспринята системой как константа. Дальше проверьте предельное значение, если указали заданную точку или символьное значение. Оно также должно содержать только латинские буквы - это важно! Затем можно заново попробовать найти подробное решение пределов онлайн на нашем великолепном сервисе, и воспользоваться полученным результатом. Как только говорят, что пределы решение онлайн подробно это очень сложно - не верьте, а главное не паникуйте, всё разрешаемо в рамках учебного курса. Рекомендуем Вам без паники уделить всего несколько минут нашему сервису и проверить заданное упражнение. Если все-таки пределы решение онлайн подробно невозможно решить, значит, вы допустили опечатку, так как в противном случае сайт решает практически любую задачу без особых сложностей. Но не нужно думать, что без труда и без вложенных усилий сможете получить желаемый результат сразу. По любому нужно уделить достаточно времени на изучение материала. Можно каждый калькулятор пределов онлайн с решением подробно выдаться на этапе построения выставленного решения и предположить обратное. Но не суть как это выразить, так как нас беспокоит сам процесс научного подхода. В итоге покажем, как калькулятор пределов с решением онлайн подробно базируется на фундаментальном аспекте математики как науке. Выделить пять основных принципов, и начать дальнейшие действия. Вас спросят о том, что доступно ли решение калькулятором пределов онлайн с подробным решением каждому, и вы ответите - да, это так и есть! Возможно, в этом смысле нет особой нацеленности на результат, однако в предел онлайн подробно заложен немного иной смысл, чем может казаться на первых порах изучения дисциплины. При взвешенном подходе, с должной расстановкой сил, можно в кратчайший срок предел онлайн подробно вывести самому.! В реальности будет так, что калькулятор пределов онлайн с решением подробно начнет быстрее пропорционально представлять все шаги пошагового вычисления.