Методы решения нелинейных уравнений. Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом ньютона - рафсона

Ключевые слова:

Цель работы: изучить методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным и апробировать их в опытно-экспериментальной работе.

Задачи работы:

Проанализировать специальную литературу и выбрать наиболее рациональные способы решения нелинейных уравнений, позволяющие глубоко изучить и усвоить данную тему всем выпускникам средней школы.
Разработать некоторые аспекты методики решения нелинейных уравнений с применением ИКТ.
Изучить методы решения нелинейных уравнений:

‒ Шаговый метод

‒ Метод деления пополам

‒ Метод Ньютона

Введение.

Без математической грамотности невозможно успешное освоение методов решения задач по физике, химии, биологии и другим предметам. Весь комплекс естественных наук построен и развивается на базе математических знаний. Например, исследование ряда актуальных задач математической физики приводит к необходимости решения нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений необходимо в нелинейной оптике, физике плазмы, теории сверхпроводимости и физике низких температур. По этой теме есть достаточное количество литературы, но во многих учебниках и статьях трудно разобраться ученику средней школы. В данной работе рассмотрены методы решения нелинейных уравнений, которые можно использовать при решении прикладных задач физики, химии. Интересным представляется аспект применения информационных технологий к решению уравнений и задач по математике.

Шаговый метод.

Пусть требуется решить нелинейное уравнение вида уравнение F(x)=0. Предположим также, что нам задан некоторый интервал поиска . Требуется найти интервал [а,b] длиной h, содержащий первый корень уравнения, начиная с левой границы интервала поиска.

Рис. 1. Шаговый метод

Решить подобную задачу можно несколькими способами. Шаговый метод является наиболее простым из численных методов решения неравенств, но для достижения большой точности необходимо существенно уменьшить шаг, а это сильно увеличивает время расчётов. Алгоритм решения уравнений с помощью данного метода состоит из двух этапов.

I этап. Отделение корней.

На этом этапе определяются участки, на каждом из которых находится только один корень уравнения. Есть несколько вариантов реализации этого этапа:

Подставляем значения X (желательно с каким-то достаточно мелким шагом) и смотрим где функция сменит знак. Если функция сменила знак, это значит, что на участке между предыдущим и текущим значением X лежит корень (если функция не меняет характер возрастания/убывания, то можно утверждать, что корень на этом интервале один).
Графический метод. Строим график и оцениваем на каких интервалах лежит один корень.
Исследуем свойства конкретной функции.

II этап. Уточнение корней.

На данном этапе значение корней уравнения, определенных ранее, уточняется. Как правило на этом этапе используются итерационные методы. Например, метод половинного деления (дихотомии) или метод Ньютона.

Метод половинного деления

Быстрый и достаточно простой численный метод решения уравнений, основанный на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения F(x)=0 до того времени, пока не будет достигнута заданная точность Е. Данный метод обычно используется при решении квадратных уравнений и уравнений высших степеней. Однако у данного метода есть существенный недостаток - если на отрезке [а,b] содержится более одного корня, то с его помощью не удастся добиться хороших результатов.

Рис. 2. Метод дихотомии

Алгоритм данного метода следующий:

‒ Определить новое приближение корня х в середине отрезка [а;b]: х=(а+b)/2.

‒ Найти значения функции в точках а и х: F(a) и F(x).

‒ Проверить условие F(a)*F(x)

‒ Перейти к пункту 1 и вновь поделить отрезок пополам. Алгоритм продолжить до того времени, пока не будет выполнено условие |F(x)|

Метод Ньютона

Самый точный из численных методов решения; подходит для решения очень сложных уравнений, но усложняется необходимостью вычисления производных на каждом шаге. заключается в том, что если x n - некоторое приближение к корню уравнения , то следующее приближение определяется как корень касательной к функции f(x), проведенной в точке x n .

Уравнение касательной к функции f(x) в точке x n имеет вид:

В уравнении касательной положим y = 0 и x = x n +1 .

Тогда алгоритм последовательных вычислений в методе Ньютона состоит в следующем:

Сходимость метода касательных квадратичная, порядок сходимости равен 2.

Таким образом, сходимость метода касательных Ньютона очень быстрая.

Без всяких изменений метод обобщается на комплексный случай. Если корень x i является корнем второй кратности и выше, то порядок сходимости падает и становится линейным.

К недостаткам метода Ньютона следует отнести его локальность, поскольку он гарантированно сходится при произвольном стартовом приближении только, если везде выполнено условие , в противной ситуации сходимость есть лишь в некоторой окрестности корня.

Метод Ньютона (метод касательных) обычно применяется в том случае, если уравнение f(x) = 0 имеет корень , и выполняются условия:

1) функция y= f(x) определена и непрерывна при ;

2) f(a)·f(b) (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка [a;b ]);

3) производные f"(x) и f""(x) сохраняют знак на отрезке [a;b ] (т. е. функция f(x) либо возрастает, либо убывает на отрезке [a;b ], сохраняя при этом направление выпуклости);

Смысл метода заключается в следующем: на отрезке [a;b ] выбирается такое число x 0 , при котором f(x 0) имеет тот же знак, что и f""(x 0), т. е. выполняется условие f(x 0)·f""(x) > 0 . Таким образом, выбирается точка с абсциссой x 0 , в которой касательная к кривой y=f(x) на отрезке [a;b ] пересекает ось Ox . За точку x 0 сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

Рассмотрим данный алгоритм на конкретном примере.

Пусть нам дана возрастающая функция y = f(x) =x 2– 2, непрерывная на отрезке (0;2), и имеющая f "(x) =2x>0 и f ""(x) = 2> 0 .

В нашем случае уравнение касательной имеет вид: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). В качестве точки x 0 выбираем точку B 1 (b; f(b)) = (2,2). Проводим касательную к функции y = f(x) в точке B 1 , и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x 1 . Получаем уравнение первой касательной:y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Ox: x 1 =

Рис. 3. Построение первой касательной к графику функции f(x)

y=f(x) Ox через точку x 1 , получаем точку В 2 =(1.5; 0.25) . Снова проводим касательную к функции y = f(x) в точке В 2 , и обозначаем точку пересечения касательной и Ox точкой x 2 .

Уравнение второй касательной: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y = 3x - 4.25. Точка пересечения касательной и оси Ox: x 2 = .

Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x 2 , получаем точку В 3 и так далее.

Рис. 4. Построение второй касательной к графику функции f(x)

Первое приближение корня определяется по формуле:

= 1.5.

Второе приближение корня определяется по формуле:

Третье приближение корня определяется по формуле:

Таким образом, i -ое приближение корня определяется по формуле:

Вычисления ведутся до тех пор, пока не будет достигнуто совпадение десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или заданной точности e - до выполнения неравенства |xi-xi-1|

В нашем случае, сравним приближение, полученное на третьем шаге с реальным ответом. Как видно, уже на третьем шаге мы получили погрешность меньше 0.000002.

Решение уравнения при помощи САПР MathCAD

Для простейших уравнений вида f (x ) = 0 решение в MathСAD находится с помощью функции root .

root(f (х 1 , x 2 , … ) , х 1 , a, b ) - возвращает значение х 1 , принадлежащее отрезку [ a, b ] , при котором выражение или функция f (х ) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.

Рис. 5. Решение нелинейного уравнения в MathCAD (функция root)

Если в результате применения данной функции возникает ошибка, то это может означать, что уравнение не имеет корней, или корни уравнения расположены далеко от начального приближения, выражение имеет локальные max и min между начальным приближением и корнями.

Чтобы установить причину ошибки, необходимо исследовать график функции f (x ). Он поможет выяснить наличие корней уравнения f (x ) = 0 и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет найдено его точное значение.

Если начальное приближение неизвестно, то целесообразно использовать функцию solve . При этом если уравнение содержит несколько переменных, нужно указать после ключевого слова solve список переменных, относительно которых решается уравнение.

Рис. 6. Решение нелинейного уравнения в MathCAD (функция solve)

Заключение

В ходе исследования были рассмотрены как математические методы, так и решение уравнений с использованием программирования в САПР MathCAD. Различные методы имеют свои достоинства и недостатки. Следует отметить, что применение того или иного метода зависит от начальных условий заданного уравнения. Те уравнения, которые хорошо решаются известными в школе методами разложения на множители и т. п., не имеет смысла решать более сложными способами. Прикладные задачи математики, важные для физики, химии и требующие сложных вычислительных операций при решении уравнений успешно решаются, например, с помощью программирования. Их же хорошо решать методом Ньютона.

Для уточнения корней можно применять несколько методов решения одного и того же уравнения. Именно это исследование и легло в основу данной работы. При этом легко проследить, какой метод наиболее удачен при решении каждого этапа уравнения, а какой метод на данном этапе лучше не применять.

Изученный материал, с одной стороны, способствует расширению и углублению математических знаний, привитию интереса к математике. С другой стороны, задачи реальной математики важно уметь решать тем, кто собирается приобрести профессии технического и инженерного направления. Поэтому данная работа имеет значение для дальнейшего образования (например, в высшем учебном заведении).

Литература:

Митяков С. Н. Информатика. Комплекс учебно-методических материалов. - Н. Новгород: Нижегород. гос. техн. ун-т.,2006
Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 527 с.
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов - М.: Наука, 1986.
Омельченко В. П., Курбатова Э. В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2005.
Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1989.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математики для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1973.
Кирьянов Д. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - С-Пб.: БХВ-Петербург, 2012.
Черняк А., Черняк Ж., Доманова Ю. Высшая математика на базе Mathcad. Общий курс. - С-Пб.: БХВ-Петербург, 2004.
Поршнев С., Беленкова И. Численные методы на базе Mathcad. - С-Пб.: БХВ-Петербург, 2012.

Ключевые слова: нелинейные уравнения, прикладная математика, САПР MathCAD, метод Ньютона, шаговый метод, метод дихотомии. .

Аннотация: Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы автоматизированного проектирования MathCAD. Рассмотрены шаговый метод, методы половинного деления и Ньютона, приведены подробные алгоритмы применения данных методов, а также проведен сравнительный анализ указанных методов.

Задача о нахождении решений системы из n нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений сn неизвестными вида

	f 1(x 1, x 2, … x n ) = 0,
	f 2(x 1, x 2, … x n ) = 0,
	……………………
	……………………
	f n (x 1 ,x 2 ,… x n ) = 0,

широко рассмотрена в вычислительной практике. Подобные системы уравнений могут возникать, например, при численном моделировании нелинейных физических систем на этапе поиска их стационарных состояний. В яде случаев системы вида (6.1) получаются опосредованно, в процессе решения некоторой другой вычислительной задачи. К примеру, пытаясь минимизировать функцию нескольких переменных, можно искать те точки многомерного пространства, где градиент функции равен нулю. При этом приходится решать систему уравнений (6.1) с левыми частями – проекциями градиента на координатные оси.

В векторных обозначениях систему (6.1) можно записать в более компактной форме

вектор столбец функций, символом () T обозначена операция транспони-

Поиск решений системы нелинейных уравнений – это задача намного более сложная, чем решение одного нелинейного уравнения. Тем не менее ряд итерационных методов решения нелинейных уравнений может быть распространен и на системы нелинейных уравнений.

Метод простой итерации

Метод простой итерации для систем нелинейных уравнений по существу является обобщением одноименного метода для одного уравнения. Он основан на том, что система уравнений (6.1) приводится к виду

x 1= g 1(x 1, x 2, … , x n ) , x 2= g 2(x 1, x 2, … , x n ) ,

……………………

x n= g n(x 1 , x 2 , … , x n) ,

и итерации проводятся по формулам

x 1 (k + 1 )= g 1 (x 1 (k ), x 2 (k ), … , x n (k )) , x 2 (k + 1 )= g 2 (x 1 (k ), x 2 (k ), … , x n (k )) ,

……………………………

x n (k + 1 )= g n (x 1 (k ), x 2 (k ), … , x n (k )) .

Здесь верхний индекс указывает на номер приближения. Итерационный процесс (6.3) начинается с некоторого начального приближения

(x 1 (0 ) ,x 2 (0 ) ,… ,x n (0 ) ) и продолжаются до тех пор, пока модули приращений

всех аргументов после одной k- итерации не станут меньше заданной величиныε :x i (k + 1 ) − x i (k ) < ε дляi = 1,2,… ,n .

Хотя метод простой итерации прямо ведет к решению и легко программируется, он имеет два существенных недостатка. Один из них – медленная сходимость. Другой состоит в том, что если начальное приближение выбрано далеко от истинного решения (X 1 ,X 2 ,… ,X n ) , то сходимость

метода не гарантированна. Ясно, что проблема выбора начального приближения, не простая даже для одного уравнения, для нелинейных систем становится весьма сложной.

Решить систему нелинейных уравнений:

	(x ...		) =0

F n (x 1 ...		x n) = 0 .

Не существует прямых методов решения нелинейных систем общего вида. Лишь в отдельных случаях систему (4.1) можно решить непосредственно. Например, для случая двух уравнений иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного.

Для решения систем нелинейных уравнений обычно используются итерационные методы.

Метод Ньютона

В случае одного уравнения F (x ) = 0 алгоритм метода Ньютона был легко получен путем записи уравнений касательной к кривойy = F (x ) . В основе метода Ньютона для систем уравнений лежит использование разложения функцийF 1 (x 1 ...x n ) в ряд Тейлора, причем члены, содержа-

щие вторые (и более высоких порядков) производные, отбрасываются. Пусть приближенные значения неизвестных системы (4.1) равны со-

ответственно a 1 ,a 2 ,....,a n . Задача состоит в нахождении приращений (по-

правок) к этим значениям	x 1 ,x 2 ,...,	x n , благодаря которым решение сис-
темы запишется в виде:
x 1= a 1+ x 1,	x 2= a 2+	x 2 , .... ,x n = a n + x n .

Проведем разложение левых частей уравнений (4.1) с учетом разложения в ряд Тейлора, ограничиваясь лишь линейными членами относи-

тельно приращений:
F1 (x1 ... xn ) ≈ F1 (a1 ... an ) +	∂ F 1	x 1+	+ ∂ F 1		x n,
	∂x		∂x

F2 (x1 ... xn ) ≈ F2 (a1 ... an ) +	∂ F 2	x 1+		∂ F 2	x n,
	∂x			∂x

...................................
F n(x 1 ... x n) ≈ F n(a 1 ... a n) +	∂ F n	x 1+		∂ F n	xn .
	∂x			∂x

Подставляя в систему (4.1), получим следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно приращений:

∂ F 1	∂ F 1		+ ∂ F 1			= −F ,
∂x	∂x		∂x

∂ F 2	∂ F 2			∂ F 2		= −F ,
∂x	∂x			∂x

..............................
∂ F n	∂ F n			∂ F n		= −F .
∂x	∂x			∂x

Значения F 1 ...		производные			вычисляются при

x 2 = a 2 , …x n = a n .

Определителем системы (4.3) является якобиан:

∂ F 1		∂ F 1
∂x		∂x

∂ F 2		∂ F 2
J = ∂ x		∂ x.

… … … …

∂ F n… … ∂ F n∂ x 1 ∂ x n

x 1= a 1,

Для существования единственного решения системы якобиан должен быть отличен от нуля на каждой итерации.

Таким образом, итерационный процесс решения системы уравнений методом Ньютона состоит в определении приращений x 1 ,x 2 , ...,x n к значениям неизвестных на каждой итерации путем решения системы линейных алгебраических уравнений (4.3). Счет прекращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине: maxx i < ε . В ме-

тоде Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы.

В качестве примера рассмотрим использование метода Ньютона для решения системы двух уравнений:

∂ ∂ F 1. x

Величины, стоящие в правой части, вычисляются при x = a ,y = b .

Если выполняются условия		y − b	< εи	x − a	при заданном M , то
Если выполняются условия		y − b	< εи	x − a	при заданном M , то
выводятся значения x иy ,	в противном случае				происходит вывод
x ,y ,M .

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко»

Рыбницкий филиал

Кафедра физики, математики и информатики

Курсовая работа

по дисциплине: «Практикум по решению задач на ЭВМ»

«Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений»

Выполнила:

студентка III курса;

330 й группы

специальности: «Информатика

с доп. специальностью английский

Нистор А. Г..

Проверила:

преподаватель Панченко Т. А.

Внедрение ЭВМ во все сферы человеческой деятельности требует от специалистов разного профиля овладения навыками использования вычислительной техники. Повышается уровень подготовки студентов вузов, которые уже с первых курсов приобщаются к использованию ЭВМ и простейших численных методов, не говоря уже о том, при что выполнении курсовых и дипломных проектов применение вычислительной техники становится нормой в подавляющем большинстве вузов.

Вычислительная техника используется сейчас не только в инженерных расчетах и экономических науках, но и таких традиционно нематематических специальностях, как медицина, лингвистика, психология. В связи с этим можно констатировать, что применение ЭВМ приобрело массовый характер. Возникла многочисленная категория специалистов - пользователей ЭВМ, которым необходимы знания по применению ЭВМ в своей отрасли - навыки работы с уже имеющимся программным обеспечением, а также создания своего собственного программного обеспечения, приспособленного для решения конкретной задачи. И здесь на помощь пользователю приходят описания языков программирования высокого уровня и численные методы.

Численные методы разрабатывают и исследуют, как правило, высококвалифицированные специалисты-математики. Для большинства пользователей главной задачей является понимание основных идей и методов, особенностей и областей применения. Однако, пользователи хотят работать с ЭВМ не только как с высокоинтеллектуальным калькулятором, а еще и как с помощником в повседневной работе, хранилищем информации с быстрым и упорядоченным доступом, а так же с источником и обработчиком графической информации. Все эти функции современной ЭВМ я предполагаю продемонстрировать в настоящей курсовой работе.

Цели и задачи.

Целью данной курсовой работы является изучение и реализация в программном продукте решения нелинейных уравнений при помощи метода Ньютона. Данная работа состоит из трёх разделов, заключения и приложения. Первый раздел - теоретический и содержит общие сведения о методе Ньютона. Второй – это практическая часть. Здесь описывается метод Ньютона разобранный на конкретных примерах. Третий посвящён тестированию программы и анализу получившихся результатов. В заключении представлен вывод о проделанной работе.

Цельюданной курсовой работы является программная реализация метода Ньютона для решения нелинейных уравнений.

Для этого необходимо выполнить следующие задачи:

1. Изучить необходимую литературу.

2. Обзорно рассмотреть существующие методы по решению нелинейных уравнений.

3. Изучить метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.

4. Рассмотреть решение нелинейных уравнений методом Ньютона на конкретных примерах.

5. Разработать программу для решения нелинейных уравнений методом Ньютона.

6. Проанализировать получившиеся результаты.

Рассмотрим задачу нахождения корней нелинейного уравнения

Корнями уравнения (1) называются такие значения х, которые при подстановке обращают его в тождество. Только для простейших уравнений удается найти решение в виде формул, т.е. аналитическом виде. Чаще приходится решать уравнения приближенными методами, наибольшее распространение среди которых, в связи с появлением компьютеров, получили численные методы.

Алгоритм нахождения корней приближенными методами можно разбить на два этапа. На первом изучается расположение корней и проводится их разделение. Находится область , в которой существует корень уравнения или начальное приближение к корню x 0 . Простейший способ решения этой задачи является исследование графика функции f(x) . В общем же случае для её решения необходимо привлекать все средства математического анализа.

Существование на найденном отрезке , по крайней мере, одного корня уравнения (1) следует из условия Больцано:

f(a)*f(b)<0 (2)

При этом подразумевается, что функция f(x) непрерывна на данном отрезке. Однако данное условие не отвечает на вопрос о количестве корней уравнения на заданном отрезке . Если же требование непрерывности функции дополнить ещё требованием её монотонности, а это следует из знакопостоянства первой производной , то можно утверждать о существовании единственного корня на заданном отрезке.

При локализации корней важно так же знание основных свойств данного типа уравнения. К примеру, напомним, некоторые свойства алгебраических уравнений:

где вещественные коэффициенты.

а) Уравнение степени n имеет n корней, среди которых могут быть как вещественные, так и комплексные. Комплексные корни образуют комплексно-сопряженные пары и, следовательно, уравнение имеет четное число таких корней. При нечетном значении n имеется, по меньшей мере, один вещественный корень.

б) Число положительных вещественных корней меньше или равно числа переменных знаков в последовательности коэффициентов . Замена х на –х в уравнении (3) позволяет таким же способом оценить число отрицательных корней.

На втором этапе решения уравнения (1), используя полученное начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнять значение корня с некоторой, наперед заданной точностью . Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате процесса итерации находится последовательность приближенных значений корней уравнения . Если эта последовательность с ростом n приближается к истинному значению корня x , то итерационный процесс сходится. Говорят, что итерационный процесс сходится, по меньшей мере, с порядком m, если выполнено условие:

, (4)

где С>0 некоторая константа. Если m=1 , то говорят о сходимости первого порядка; m=2 - о квадратичной, m=3 - о кубической сходимостях.

Итерационные циклы заканчиваются, если при заданной допустимой погрешности выполняются критерии по абсолютным или относительным отклонениям:

или малости невязки:

Эта работа посвящена изучению алгоритма решения нелинейных уравнений с помощью метода Ньютона.

1.1 Обзор существующих методов решения нелинейных уравнений

Существует много различных методов решения нелинейных уравнений, некоторые из них представлены ниже:

1)Метод итераций . При решении нелинейного уравнения методом итераций воспользуемся записью уравнения в виде x=f(x). Задаются начальное значение аргумента x 0 и точность ε. Первое приближение решения x 1 находим из выражения x 1 =f(x 0), второе - x 2 =f(x 1) и т.д. В общем случае i+1 приближение найдем по формуле xi+1 =f(xi). Указанную процедуру повторяем пока |f(xi)|>ε. Условие сходимости метода итераций |f"(x)|<1.

2)Метод Ньютона . При решении нелинейного уравнения методом Ньтона задаются начальное значение аргумента x 0 и точность ε. Затем в точке(x 0 ,F(x 0)) проводим касательную к графику F(x) и определяем точку пересечения касательной с осью абсцисс x 1 . В точке (x 1 ,F(x 1)) снова строим касательную, находим следующее приближение искомого решения x 2 и т.д. Указанную процедуру повторяем пока |F(xi)| > ε. Для определения точки пересечения (i+1) касательной с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой x i+1 =x i -F(x i)\ F’(x i). Условие сходимости метода касательных F(x 0)∙F""(x)>0, и др.

3). Метод дихотомии. Методика решения сводится к постепенному делению начального интервала неопределённости пополам по формуле С к =а к +в к /2.

Для того чтобы выбрать из двух получившихся отрезков необходимый, надо находить значение функции на концах получившихся отрезков и рассматривать тот на котором функция будет менять свой знак, то есть должно выполняться условие f (а к)* f (в к)<0.

Процесс деления отрезка проводится до тех пор, пока длина текущего интервала неопределённости не будет меньше заданной точности, то есть

в к – а к < E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). Метод хорд . Идея метода состоит в том, что на отрезке строится хорда стягивающая концы дуги графика функции y=f(x), а точка c, пересечения хорды с осью абсцисс, считается приближенным значением корня

c = a - (f(a)Ч (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c = b - (f(b)Ч (a-b)) / (f(a) - f(b)).

Следующее приближение ищется на интервале или в зависимости от знаков значений функции в точках a,b,c

x* О , если f(с)Ч f(а) > 0 ;

x* О , если f(c)Ч f(b) < 0 .

Если f"(x) не меняет знак на , то обозначая c=x 1 и считая начальным приближением a или b получим итерационные формулы метода хорд с закрепленной правой или левой точкой.

x 0 =a, x i+1 = x i - f(x i)(b-x i) / (f(b)-f(x i), при f "(x)Ч f "(x) > 0 ;

x 0 =b, x i+1 = x i - f(x i)(x i -a) / (f(x i)-f(a), при f "(x)Ч f "(x) < 0 .

Сходимость метода хорд линейная.

1.2 Алгоритм метода Ньютона

Построим эффективный алгоритм вычисления корней уравнения. Пусть задано начальное приближение . Вычислим в этой точке значение функции и её производной . Рассмотрим графическую иллюстрацию метода:

(8)

Продолжая этот процесс, получим известную формулу Ньютона:

(9)

Приведем простейшую рекурсивную подпрограмму-функцию:

function X_Newt(x,eps:real):real;

y:=x-f(x)/f1(x);

if abs(f(x)) > eps

then X_Newt:=X_Newt(y,eps)

Метод Ньютона (касательных) характеризуется квадратичной скоростью сходимости, т.е. на каждой итерации удваивается число верных знаков. Однако этот метод не всегда приводит к нужному результату. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Преобразуем уравнение (1) к эквивалентному уравнению вида:

В случае метода касательных . Если известно начальное приближение к корню x=x 0 , то следующее приближение найдем из уравнения x 1 =g(x 0), далее x 2 =g(x 1),... Продолжая этот процесс, получим рекуррентную формулу метода простой итерации

x k+1 =g(x k) (11)

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будут выполнены условия (5-7).

Всегда ли описанный вычислительный процесс приводит к искомому решению? При каких условиях он будет сходящимся? Для ответа на эти вопросы опять обратимся к геометрической иллюстрации метода.

Корень уравнения представляется точкой пересечения функций y=x и y=g(x). Как видно из рис. 3(а), если выполняется условие , то процесс сходится, иначе – расходится (рис3(б)).

Итак, для того чтобы итерационный процесс был сходящимся и приводил к искомому результату, требуется выполнение условия:

Переход от уравнения f(x)=0 к уравнению х=g(x) можно осуществлять различными способами. При этом важно, чтобы выбранная функция g(x) удовлетворяла условию (12). К примеру, если функцию f(x) умножить на произвольную константу q и добавить к обеим частям уравнения (1) переменную х, то g(x)=q*f(x)+x . Выберем константу q такой, чтобы скорость сходимости алгоритма была самой высокой. Если 1

Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости, однако он не всегда сходится. Условие сходимости , где g(x) = x – f(x)/ f’(x), сводится к требованию .

В практических расчетах важно выбирать начальное значение как можно ближе к искомому значению, а в программе устанавливать «предохранитель от зацикливания».

Недостатком метода является и то, что на каждом шаге необходимо вычислять не только функцию, но и ее производную. Это не всегда удобно. Одна из модификаций метода Ньютона - вычисление производной только на первой итерации:

(13)

Другой метод модификации – замена производной конечной разностью

(14)

Тогда (15)

Геометрический смысл такого изменения алгоритма Ньютона состоит в том, что от касательной мы приходим к секущей. Метод секущих уступает методу Ньютона в скорости сходимости, но не требует вычисления производной. Заметим, что начальные приближения в методе секущих могут располагаться как с разных сторон от корня, так и с одной стороны.

Запишем в общем виде алгоритм метода Ньютона.

1. Задать начальное приближение х (0) так, чтобы выполнилось условие

f(x (0))*f’’(x (0))>0. (16)

Задать малое положительное число ε , как точность вычислений. Положить к = 0.

2. Вычислить х (к+1) по формуле (9) :

3. Если | x (k+1) - x (k) | < ε, то процесс вычисления прекратить и положить х* = x (k+1) . Иначе увеличить к на 1 (к = к + 1) и перейти к пункту 2.

Решим вручную несколько нелинейных уравнений методом Ньютона, а потом сверим результаты с теми, которые получатся при реализации программного продукта.

Пример 1

sin x 2 + cosx 2 - 10x. = 0.

F’(x)=2x cosx 2 - 2x sinx 2 - 10.

F’’(x)=2cosx 2 - 4x 2 sinx 2 - 2sinx 2 - 4x 2 cosx 2 = cosx 2 (2-4x 2) - sinx 2 (2+4x 2).

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

Пусть x (0) = 0, 565, тогда f(0. 565)*f’’(0. 565) = -4. 387 * (-0. 342) = 1. 5 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 0, 565.

k	x(k)	f(x(k))	f’(x(k))	\| x(k+1) - x(k) \|
0	0. 565	-4. 387	-9. 982	0. 473
1	0. 092	0. 088	-9. 818	0. 009
2	0. 101	0. 000	-9. 800	0. 000
3	0. 101

Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 101.

Пример 2

Решить уравнение методом Ньютона.

cos x – e -x2/2 + x - 1 = 0

Вычисления производить с точностью ε = 0, 001.

Вычислим первую производную функции.

F’(x) = 1 – sin x + x*e -x2/2 .

Теперь вычислим вторую производную от функции.

F’’(x) = e -x2/2 *(1-x 2) – cos x.

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

Пусть x (0) = 2, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 449 * 0. 010 = 0.05 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 2.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

k	x(k)	f(x(k))	f’(x(k))	\| x(k+1) - x(k) \|
0	2	0. 449	0. 361	1. 241
1	-0. 265	0. 881	0. 881	0. 301
2	-0. 021	0. 732	0. 732	0. 029
3	0. 000	0. 716	0. 716	0. 000
4	1. 089

Отсюда следует, что корень уравнения х = 1. 089.

Пример 3

Решить уравнение методом Ньютона.

Вычисления производить с точностью ε = 0, 001.

Вычислим первую производную функции.

F’(x) = 2*x + e -x .

Теперь вычислим вторую производную от функции.

F’’(x) = 2 - e -x .

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

Пусть x (0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031 > 0,

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

k	x(k)	f(x(k))	f’(x(k))	\| x(k+1) - x(k) \|
0	1, 000	0, 632	2, 368	0, 267
1	0, 733	0, 057	1, 946	0, 029
2	0, 704	0, 001	1, 903	0, 001
3	0, 703

Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 703.

Решить уравнение методом Ньютона.

cos x –e -x/2 +x-1=0.

Вычислим первую производную функции.

F’(x) = -sin x + e -x/2 /2+1.

Теперь вычислим вторую производную от функции.

F’’(x) = -cos x - e -x/2 /4.

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

Пусть x (0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = -0. 066 * (-0. 692) = 0. 046 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 1.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

k	x(k)	f(x(k))	f’(x(k))	\| x(k+1) - x(k) \|
0	1, 000	-0. 066	0. 462	0. 143
1	1. 161	-0. 007	0. 372	0. 018
2	1. 162	0. 0001.	0. 363	0. 001
3	1. 162

Отсюда следует, что корень уравнения х = 1. 162.

Пример 5

Решить уравнение методом Ньютона.

2+e x - e -x =0.

Вычислим первую производную функции.

F’(x) = e x +e -x .

Теперь вычислим вторую производную от функции.

F’’(x) = e x -e -x .

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

Пусть x (0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 350 * 2, 350 = 0. 823 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 1.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

k	x(k)	f(x(k))	f’(x(k))	\| x(k+1) - x(k) \|
0	1, 000	0, 350	3, 086	0, 114
1	0, 886	0, 013	2, 838	0, 005
2	0, 881	0, 001	2, 828	0, 000
3	0, 881

Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 881.

3.1 Описание программы

Данная программа создана для работы в текстовом и графическом режиме. Она состоит из модуля Graph, Crt, трёх функций и трёх процедур.

1. модуль Crt предназначен для обеспечения контроля над текстовыми режимами экрана, расширенными кодами клавиатуры, цветами, окнами и звуком;

2. модуль Graph предназначен для обеспечения контроля над графическими объектами;

3. procedure GrafInit - инициализирует графический режим;

4. function VF – вычисляет значение функции;

5. function f1 – вычисляет значение первой производной функции;

6. function X_Newt – реализует алгоритм решения уравнения методом Ньютона.

7. procedure FGraf – реализует построение графика заданной функции f(x);

Ots=35 - константа, определяющая количество точек для отступа от границ монитора;

fmin, fmax – максимальные и минимальные значения функции;

SetColor(4) – процедура, которая устанавливает текущий цвет графического объекта, используя палитру, в данном случае это красный цвет;

SetBkColor(9) – процедура, которая устанавливает текущий цвет фона, используя палитру, в данном случае – это светло-синий цвет.

8. Procedure MaxMinF – вычислят максимальные и минимальные значения функции f(x).

Line – процедура, которая рисует линию из точки с координатами (x1, у1) в точку с координатами (х2, у2);

MoveTo – процедура, перемещающая указатель (СР) в точку с координатами (х, у);

TextColor(5) – процедура, устанавливающая текущий цвет символов, в данном случае – это розовый;

Outtexty(х, у, ‘строка’) – процедура, которая выводит строку, начиная с позиции (х, у)

CloseGraph – процедура, закрывающая графическую систему.

3.2 Тестирование программы

Для тестирования программы возьмем те примеры, которые решали в практической части работы, чтобы сверить результаты и проверить правильность работы программы.

1) sin x 2 + cosx 2 - 10x. = 0.

Введите а = -1

Введите b=1

= [-1, 1]

{вывод графика функции}

Получим: х=0, 0000002

2) cos x – e -x2/2 + x - 1 = 0.

Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке .

Введите а = -3

Введите b=3

= [-3, 3]

{вывод графика функции}

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим: х=-0, 0000000

3) x 2 - e -x = 0.

Введите а = -1

Введите b=1

= [-1, 1]

Введите точность вычисления eps=0. 01

{вывод графика функции}

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим: х=0, 0000000

4) cos x –e -x/2 +x-1=0.

Введите а = -1,5

Введите b=1,5

= [-1,5, 1,5 ]

Введите точность вычисления eps=0. 001

{вывод графика функции}

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим: х=0, 0008180

5) -2+e x - e -x =0.

Введите а = -0,9

Введите b=0,9

= [-0,9, 0,9]

Введите точность вычисления eps=0. 001

{вывод графика функции}

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

Сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Целью работы было создать программу, которая вычисляет корень нелинейного уравнения методом Ньютона. Исходя из этого, можно сделать вывод, что цель достигнута, так как для ее осуществления были решены следующие задачи:

1.Изучена необходимая литература.

2.Обзорно рассмотрены существующие методы по решению нелинейных уравнений.

3.Изучен метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.

4.Рассмотрено решение нелинейных уравнений методом Ньютона на примере.

5.Проведены тестирование и отладка программы.

Список используемой литературы

1. Б.П. Демидович, И.А Марон. Основы вычислительной математики. – Москва, изд. «Наука»; 1970.

2. В.М. Вержбицкий. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). – Москва, «Высшая школа»; 2000.

3. Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В.Чижонков. Численные методы в задачах и упражнениях. – Москва, «Высшая школа»; 2000.

4. Мэтьюз, Джон, Г.,Финк, Куртис, Д. Численные методы MATLAB, 3-е издание.- Москва, «Вильяс»; 2001.

Решение нелинейных уравнений методом Ньютона

Для решения электроэнергетических задач существует несколько моди-фикаций метода. Они позволяют увеличить скорость сходимости итераци-онного процесса и уменьшить время расчета.

Основное достоинство метода – он обладает быстрой сходимостью.

Идея метода состоит в последовательной замене на каждой итерации расчета исходной нелинейной системы уравнений некоторой вспомогатель-ной линейной системой уравнений, решение которой позволяет получить очередное приближение неизвестных, более близкое к искомому решению (линеаризация ).

Рассмотрим нелинейное уравнение в общем виде:

Искомое решение уравнения – точка, в которой кривая пересекает ось абсцисс.

Задаем начальное приближение неиз-вестной х (0) . Определяем значение функции в этой точке w(х (0)) и проводим касательную к кривой в точке В. Точка пересечения этой касательной с осью абсцисс определяет сле-дующее приближение неизвестной х (1) и т.д.

Разложим уравнение (1) в ряд Тейлора в окрестностях точки х (0) . Рас-смотрим члены разложения, содержащие только 1-ю производную:

(2)

х – х (0) = Δх - поправка к неизвестной. Если определим её, то сможем определить и следующее приближение.

Из (2) определяем поправку (3)

Тогда следующее приближение: (5)

Аналогично получаем к -е приближения:

Это рекуррентная формула метода Ньютона для решения нелинейных уравнений. Она позволяет определять очередные приближения неизвестных.

Формулу (6) можно получить другим способом из рисунка:

Итерационный процесс сходится, если уменьшается и приближается к 0 . Результат достигнут, если .

Комментарий к геометрической интерпретации

Итерационный шаг метода сводится к замене кривой на прямую, ко-торая описывается левой частью уравнения (2). Она является касательной к кривой в точке . Этот процесс называется линеаризацией . Точка пере-сечения касательной к кривой с осью х дает очередное приближение неиз-вестной . Поэтому этот метод называется методом касательных .

Пример:

Для того, чтобы определить этим методом все корни нелинейного урав-нения, нужно любым способом определить приблизительное расположение этих корней и задать начальные приближения в близи них.

Простой способ определения области расположения корней - табуляция .

Итерационный процесс Ньютона не сходится , если начальные приближения выбраны так, что:

Процесс или не сходится или сходится очень плохо.

Метод Ньютона-Рафсона для решения СНАУ

Рафсон показал, что итерационный метод Ньютона, предложенный для решения одного нелинейного уравнения , можно использовать для решения систем нелинейных уравнений.

При этом, для решения систем нелинейных уравнений нужно вместо од-ной неизвестной рассматривать совокупность(вектор) неизвестных :

вместо одной невязки уравнения, рассматриваем вектор невязок уравнений системы:

Одна производная в (6) замещается матрицей производных . Операция деления в (6) замещается умножением на обратную матрицу производных. В этом случае метод Ньютона-Рафсона отличается от метода Ньютона пере-ходом от одномерной задачи к многомерной .

Рассмотрим систему действительных нелинейных алгебраических уравне-ний:

(7)

В матричном виде ее можно записать:

где Х = х 2 – вектор – столбец неизвестных;

w 1 (х 1 , х 2 , … х n)

W = w 2 (х 1 , х 2 , … х n) – вектор-функция.

w n (х 1 , х 2 , … х n)

Пусть - начальные приближения неизвестных. Разложим каждое уравнение системы (7) в ряд Тейлора в окрестности точки Х (0) , то есть выполним приближенную замену исходных нелинейных уравнений линей-ными, в которых сохраняется только 1-я производная (линеаризация). В ре-зультате система уравнений (7) принимает вид:

(9)

В результате получили систему линейных уравнений (линеаризованная система), в которой неизвестными являются поправки . Коэф-фициенты при неизвестных в этой системе – первые производные от урав-нений w j исходной нелинейной системы по всем неизвестным Х i . . Они обра-зуют матрицу коэффициентов – матрицу Якоби :

Каждая строка матрицы состоит из первых производных от очередного урав-нения нелинейной системы по всем неизвестным.

Запишем линеаризованную систему (9) в матричной форме:

(10)

Здесь - вектор невязок уравнений исходной системы. Его эле-менты получаем при подстановке в уравнения нелинейной системы очеред-ных приближений неизвестных;

- матрица Якоби . Ее элементами являются первые частные про-изводные от всех уравнений исходной системы по всем неизвестным;

- вектор поправок к искомым неизвестным. На каждой итерации он может быть записан:

Систему (10) с учетом принятых обозначений можно записать:

(12)

Эта система линейна относительно поправок ΔХ (к) .

Система (13) - линеаризованная система уравнений, которой заменяется исходная СНАУ на каждом шаге итерационного процесса.

Система (13) решается любым известным способом, в результате находим вектор поправок . Затем из (11) можем найти очередные приближения неизвестных:

Т.о. каждый шаг итерационного процесса состоит в решении линейной сис-темы (13) и определении очередного приближения из (14).

Из (11) и (12) можно получить общую рекуррентную формулу (в матричном виде), соответствующую методу Ньютона–Рафсона:

(15)

Она имеет структуру, соответствующую формуле (6).

Формула (15) в практических расчетах используется редко , так как здесь нужно обращать матрицу Якоби (большой размерности) на каждой итерации расчетов. В реальных расчетах поправки определяются в результате решения линейной системы (13).

Контроль завершения итерационного процесса выполняем по вектору невязок:

Это условие должно выполняться для невязок всех уравнений системы.

Алгоритм решения СНАУ методом Ньютона-Рафсона

1. Задание вектора начальных приближений неизвестных .

Задание точности расчета є , других параметров расчета

2. Определение невязок нелинейных уравнений в точке приближения ;

2.3. Определение элементов матрицы Якоби в точке очередного прибли-жения неизвестных ;

2.4. Решение линеаризованной системы (13) любым известным методом. Определение поправок к неизвестным .

2.5. Определение очередного приближения неизвестных в соответ-ствии с (14).

2.6. Контроль завершения итерационного процесса в соответствии с (16). Если условие не выполняется, то возврат к пункту 2.

Примерчик:

Решить СЛАУ методом Ньютона-Рафсона:

(решение Х 1 =Х 2 =2)

Запишем уравнения в виде невязок:

Определяем элементы матрицы Якоби:

Матрица Якоби:

Реализуем алгоритм метода Ньютона-Рафсона:

1) Первая итерация:

Начальные приближения

Невязки

Матрица Якоби:

Линеаризованная система уравнений:

1-е приближение неизвестных:

2) Вторая итерация

3) Третья итерация:

… ……… …… …… …… ……..

Решение систем уравнений установившегося режима методом Ньютона-Рафсона

Нелинейное уравнение установившегося режима в форме баланса мощ-ности для -го узла имеет вид:

(17)

Это уравнение с комплексными неизвестными и коэффициентами. Для того, чтобы такие уравнения вида (17) можно было решать методом Ньюто-на-Рафсона, их преобразуют: разделяют действительные и мнимые части. В результате этого каждое комплексное уравнение вида (17) распадается на два действительных уравнения, которые соответствуют балансу активной и ре-активной мощности в узле:

Здесь -заданные мощности в узле;

Неизвестные составляющие напряжения в узлах. Их нужно

определить в результате расчета.

В правой части уравнений (18) - расчетная суммарная мощность пере-токов в ветвях, подходящих к -му узлу.

Запишем эти уравнения (18) в виде невязок :

Невязки уравнений (19) соответствует расчетному небалансу активной и реактивной мощности в -ом узле.

Невязки описывают режим узла і и являются нелинейными функциями от неизвестных напряжений в узлах . Нужно, чтобы -> 0.

Будем решать методом Ньютона-Рафсона систему 2n уравнений вида (19), то есть для решения задачи расчета установившегося режима электри-ческой сети методом Ньютона - Рафсона нужно:

1) сформировать систему 2n уравнений вида (19) для всех узлов электрической сети, кроме балансирующих;

2) организовать итерационный процесс метода Ньютона-Рафсона

для решения этой системы уравнений. В результате решения

получаем искомые составляющие напряжений в узлах .

Запишем эту систему уравнений в общем виде:

(20)

Получили систему 2 нелинейных уравнений невязок с 2 неизвест-ными, которыми. Неизвестными в ней являются составляющие напряжения - модули и углы .

Для решения системы (20) методом Ньютона-Рафсона нужно составить вспомогательную линеаризованную систему уравнений вида (13), решая ко-торую на каждой итерации, определяем поправки к неизвестным:

(21)

С учетом принятых обозначений система (21) может быть записана:

(22)

где -матрица Якоби, её элементами являются частные производные от уравнений системы (20) по всем неизвестным - составляющим напряже-ний

Вектор невязок уравнений системы (20). Их значения получаем при подстановке в уравнения очередных приближений неизвестных;

Вектор поправок к неизвестным:

; ΔӨ i = Ө i (к+1) - Ө i (к) , ΔU i = U i (к+1) - U i (к) .

Для определения элементов матрицы Якоби применяем аналитическое дифференцирование , т.е. дифференцируем каждое уравнение системы (20) по искомым величинам – углам и модулям напряжений. Чтобы сформировать матрицу Якоби, нужно получить аналитические выражения для производных следующих видов :

1) Производная от уравнения невязки активной мощности го узла по углу напряжения этого же узла: ;

2) Производная от уравнения невязки активной мощности го узла по углу напряжения смежного j- го узла: ;

3) Производная от невязки активной мощности го узла по модулю напряжения этого же узла: ;

4) Производная от невязки активной мощности го узла по модулю напряжения смежного узла: ;

Аналогично определяются ещё четыре вида производных – производные от уравнений невязки реактивной мощности го узла по всем неизвестным:

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

С учетом этих производных матрицу Якоби можно записать в общем виде:

(23)

Определим аналитические выражения для производных, дифференци-руя уравнения системы (20) по неизвестным величинам. Они имеют вид:

(24)

Матрица Якоби в общем случае - квадратная матрица, симметричная, размерностью , её элементами являются частные производные от невязок уравнений (небаланса мощностей) по всем неизвестным.

Если узлы не связаны между собой, то соответствующие произ-водные в матрицы матрице Якоби, расположенные вне диагонали, будут равны нулю (аналогично матрице проводимостей) – т.к. в соответствующих форму-лах (24) взаимная проводимость y ij является сомножителем и. y ij =0.

Каждая строка матрицы – это производные от очередного уравнения системы (20).

Наличие в схеме моделируемой сети особых узлов (опорные и балансирую-щие узлы, узлы ФМ) сказывается на структуре системы уравнений устано-вившегося режима и на структуре матрицы Якоби:

1. Для узлов с фиксацией модуля напряжения (ФМ), в которых заданы и неизвестными являются и , из матрицы Якоби исключается стро-ка производных (т.к. Q i не задана, то и уравнение баланса реак-тив-ной мощности (18), (19) составить нельзя) и столбец производных (т.к. модуль напряжения U i известен и он исключается из состава неизвест-ных).

2. Для узлов опорных и балансирующих – соответствующие строки и столбцы матрицы исключаются;

3. Если узлы не связаны непосредственно – соответствующие произ-водные в матрице равны нулю.

Матрицу Якоби можно разбить на четыре блока :

1) - производные от уравнений небаланса активной мощности (20) по углам напряжений;

2) - производные от уравнений небаланса активной мощности по модулям напряжений;

3) - производные от уравнений небаланса реактивной мощности (20) по углам напряжений;

4) - производные от уравнений небаланса реактивной мощности по модулям напряжений.

Это матрицы-клетки частных производных небалансов активной и реактив-ной мощностей по неизвестным углам и модулям напряжений. В общем случае, это квадратные матрицы размерностью n×n.

С учетом этого, матрица Якоби может быть представлена в виде блочной мат-рицы:

Где субвектора неизвестных величин.

С учетом этого,Тогда линеаризованную систему уравнений (22) можно запи-сать в ви-де:

. (25)

Решая эту линейную систему уравнений (любым известным методом) на

кКаждой итерации метода, находим поправки к неизвестным , а затем и

очередные приближения неизвестных:

(26)

Очередное приближение неизвестных можно, также, получить с использо-ванием итерационной формулы метода Ньютона-Рафсона, аналогичной (15):

- · (27)

Тут требуется обращение матрицы Якоби на каждой итерации – громоздкая вычислительная операция.

Алгоритм решения систем уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона

1. Задание начальных значений неизвестных напряжений . В ка-честве начальных приближений принимаем: , т.е. номинальные напряжения узлов;

2. Задание условий расчета: точность ε , предельное количество итера-ций , ускоряющие коэффициенты и др.

3. Определение невязок уравнений в соответствии с уравнениями (20) при очередных приближениях неизвестных;

4. Определение элементов матрицы Якоби в соответствии с (24) при очередных приближениях неизвестных;

5. Решение линеаризованной системы уравнений (25) и определение поправок к неизвестным ;

6. Определение очередных приближений неизвестных в соответствии с (26);

7. Проверка завершения итерационного процесса:

Значения невязок уравнений для всех узлов должны быть меньше задан-ной точности.

Если условие не выполняется, то возврат к пункту 3 и повторение рас-чета при новых приближениях неизвестных.

Существует ряд модификаций метода Ньютона-Рафсона. В том числе:

1. Модифицированный метод Ньютона-Рафсона.

Матрицу Якоби рассчитывают один раз при начальных значениях неизвест-ных. На последующих итерациях она принимается постоянной . Это значи-тельно сокращает объем вычислений на каждой итерации, но увеличивает ко-личество итераций.

2. Разделенный метод Ньютона-Рафсона.

Производные вида очень малы и их значениями можно прине-бречь. В результате, в матрице Якоби остаются два блока - 1-й и 4-й, и сис-тема (25), состоящая из уравнений, распадается на две независимые сис-темы размерностью . Каждая из этих систем решается отдельно от другой. Это приводит к сокращению объема вычислений и необходимой памяти ЭВМ.

Например:

Поставим задачу отыскать действительные корни данного уравнения.

А таковые точно есть! – из статей о графиках функций и уравнениях высшей математики вы хорошо знаете, что график функции-многочлена нечётной степени хотя бы один раз пересекает ось , следовательно, наше уравнение имеет по меньшей мере один действительный корень. Один. Или два. Или три.

Сначала напрашивается проверить, наличие рациональных корней. Согласно соответствующей теореме , на это «звание» могут претендовать лишь числа 1, –1, 3, –3, и прямой подстановкой легко убедиться, что ни одно из них «не подходит». Таким образом, остаются иррациональные значения. Иррациональный корень (корни) многочлена 3-й степени можно найти точно (выразить через радикалы) с помощью так называемых формул Кардано , однако этот метод достаточно громоздок. А для многочленов 5-й и бОльших степеней общего аналитического метода не существует вовсе, и, кроме того, на практике встречается множество других уравнений, в которых точные значения действительных корней получить невозможно (хотя они существуют).

Однако в прикладных (например, инженерных) задачах более чем допустимо использовать приближённые значения, вычисленные с определённой точностью .

Зададим для нашего примера точность . Что это значит? Это значит, что нам нужно отыскать ТАКОЕ приближённое значение корня (корней) , в котором мы гарантированно ошибаемся, не более чем на 0,001 (одну тысячную) .

Совершенно понятно, что решение нельзя начинать «наобум» и поэтому на первом шаге корни отделяют . Отделить корень – это значит найти достаточно малый (как правило, единичный) отрезок, которому этот корень принадлежит, и на котором нет других корней. Наиболее прост и доступен графический метод отделения корней . Построим поточечно график функции :

Из чертежа следует, что уравнение , судя по всему, имеет единственный действительный корень , принадлежащий отрезку . На концах данного промежутка функция принимает значения разных знаков: , и из факта непрерывности функции на отрезке сразу виден элементарный способ уточнения корня: делим промежуток пополам и выбираем тот отрезок, на концах которого функция принимает разные знаки. В данном случае это, очевидно, отрезок . Делим полученный промежуток пополам и снова выбираем «разнознаковый» отрезок. И так далее. Подобные последовательные действия называют итерациями . В данном случае их следует проводить до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше удвоенной точности вычислений , и за приближённое значение корня следует выбрать середину последнего «разнознакового» отрезка.

Рассмотренная схема получила естественное название – метод половинного деления . И недостаток этого метода состоит в скорости. Медленно. Очень медленно. Слишком много итераций придётся совершить, прежде чем мы достигнем требуемой точности. С развитием вычислительной техники это, конечно, не проблема, но математика – на то и математика, чтобы искать наиболее рациональные пути решения.

И одним из более эффективных способов нахождения приближённого значения корня как раз и является метод касательных . Краткая геометрическая суть метода состоит в следующем: сначала с помощью специального критерия (о котором чуть позже) выбирается один из концов отрезка. Этот конец называют начальным приближением корня, в нашем примере: . Теперь проводим касательную к графику функции в точке с абсциссой (синяя точка и фиолетовая касательная) :

Данная касательная пересекла ось абсцисс в жёлтой точке, и обратите внимание, что на первом шаге мы уже почти «попали в корень»! Это будет первое приближение корня . Далее опускаем жёлтый перпендикуляр к графику функции и «попадаем» в оранжевую точку. Через оранжевую точку снова проводим касательную, которая пересечёт ось ещё ближе к корню! И так далее. Нетрудно понять, что, используя метод касательных, мы приближаемся к цели семимильными шагами, и для достижения точности потребуется буквально несколько итераций.

Поскольку касательная определяется через производную функции , то этот урок попал в раздел «Производные» в качестве одного из её приложений. И, не вдаваясь в подробное теоретическое обоснование метода , я рассмотрю техническую сторону вопроса. На практике описанная выше задача встречается примерно в такой формулировке:

Пример 1

С помощью графического метода найти промежуток , на котором находится действительный корень уравнения . Пользуясь методом Ньютона, получить приближенное значение корня с точностью до 0,001

Перед вами «щадящая версия» задания, в которой сразу констатируется наличие единственного действительного корня.

Решение : на первом шаге следует отделить корень графически. Это можно сделать путём построения графика (см. иллюстрации выше) , но такой подход обладает рядом недостатков. Во-первых, не факт, что график прост (мы же заранее не знаем) , а программное обеспечение – оно далеко не всегда под рукой. И, во-вторых (следствие из 1-го) , с немалой вероятностью получится даже не схематичный чертёж, а грубый рисунок, что, разумеется, не есть хорошо.

Ну а зачем нам лишние трудности? Представим уравнение в виде , АККУРАТНО построим графики и отметим на чертеже корень («иксовую» координату точки пересечения графиков) :

Очевидное преимущество этого способа состоит в том, что графики данных функций строятся от руки значительно точнее и намного быстрее. Кстати, заметьте, что прямая пересекла кубическую параболу в единственной точке, а значит, предложенное уравнение и в самом деле имеет только один действительный корень. Доверяйте, но проверяйте;-)

Итак, наш «клиент» принадлежит отрезку и «на глазок» примерно равен 0,65-0,7.

На втором шаге нужно выбрать начальное приближение корня. Обычно это один из концов отрезка. Начальное приближение должно удовлетворять следующему условию:

Найдём первую и вторую производные функции :

и проверим левый конец отрезка:

Таким образом, ноль «не подошёл».

Проверяем правый конец отрезка:

– всё хорошо! В качестве начального приближения выбираем .

На третьем шаге нас ожидает дорога к корню. Каждое последующее приближение корня рассчитывается на основании предшествующих данных с помощью следующей рекуррентной формулы:

Процесс завершается при выполнении условия , где – заранее заданная точность вычислений. В результате за приближённое значение корня принимается «энное» приближение: .

На очереди рутинные расчёты:

(округление обычно проводят до 5-6 знаков после запятой)

Поскольку полученное значение больше , то переходим к 1-му приближению корня:

Вычисляем:

, поэтому возникает потребность перейти ко 2-му приближению:

Заходим на следующий круг:

, таким образом, итерации закончены, и в качестве приближённого значения корня следует взять 2-е приближение, которое в соответствии с заданной точностью нужно округлить до одной тысячной:

На практике результаты вычислений удобно заносить в таблицу, при этом, чтобы несколько сократить запись, дробь часто обозначают через :

Сами же вычисления по возможности лучше провестив Экселе – это намного удобнее и быстрее:

Ответ : с точностью до 0,001

Напоминаю, что эта фраза подразумевает тот факт, что мы ошиблись в оценке истинного значения корня не более чем на 0,001. Сомневающиеся могут взять в руки микрокалькулятор и ещё раз подставить приближенное значение 0,674 в левую часть уравнения .

А теперь «просканируем» правый столбец таблицы сверху вниз и обратим внимание, что значения неуклонно убывают по модулю. Этот эффект называют сходимостью метода, которая позволяет нам вычислить корень со сколь угодно высокой точностью. Но сходимость имеет место далеко не всегда – она обеспечивается рядом условий , о которых я умолчал. В частности, отрезок, на котором изолируется корень, должен быть достаточно мал – в противном случае значения будут меняться беспорядочным образом, и мы не сможем завершить алгоритм.

Что делать в таких случаях? Проверить выполнение указанных условий (см. выше по ссылке) , и при необходимости уменьшить отрезок. Так, условно говоря, если бы в разобранном примере нам не подошёл промежуток , то следовало бы рассмотреть, например, отрезок . На практике мне такие случаи встречались , и этот приём реально помогает! То же самое нужно сделать, если оба конца «широкого» отрезка не удовлетворяют условию (т.е. ни один из них не годится на роль начального приближения) .

Но обычно всё работает, как часы, хотя и не без подводных камней:

Пример 2

Определить графически количество действительных корней уравнения , отделить эти корни и применяя способ Ньютона, найти приближенные значения корней с точностью

Условие задачи заметно ужесточилось: во-первых, в нём содержится толстый намёк на то, что уравнение имеет не единственный корень, во-вторых, повысилось требование к точности, и, в-третьих, с графиком функции совладать значительно труднее.

А поэтому решение начинаем со спасительного трюка: представим уравнение в виде и изобразим графики :

Из чертежа следует, что наше уравнение имеет два действительных корня:

Алгоритм, как вы понимаете, нужно «провернуть» дважды. Но это ещё на самый тяжелый случай, бывает, исследовать приходится 3-4 корня.

1) С помощью критерия выясним, какой из концов отрезка выбрать в качестве начального приближения первого корня. Находим производные функции :

Тестируем левый конец отрезка:

– подошёл!

Таким образом, – начальное приближение.

Уточнение корня проведем методом Ньютона, используя рекуррентную формулу:
– до тех пор, пока дробь по модулю не станет меньше требуемой точности:

И здесь слово «модуль» приобретает неиллюзорную важность, поскольку значения получаются отрицательными:

По этой же причине следует проявить повышенное внимание при переходе к каждому следующему приближению:

Несмотря на достаточно высокое требование к точности, процесс опять завершился на 2-м приближении: , следовательно:

С точностью до 0,0001

2) Найдем приближённое значение корня .

Проверяем на «вшивость» левый конец отрезка:

, следовательно, он не годится в качестве начального приближения.